SỐ PHỨC
I – LÝ THUYẾT CHUNG

1. Khái niệm số phức
( Tập hợp số phức: C
( Số phức (dạng đại số) :

(a, b
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
( z là số thực ( phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo ( phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
( Hai số phức bằng nhau:

Chú ý:

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
trong mp(Oxy) (mp phức)







3. Cộng và trừ số phức:
(
(

( Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
(
biểu diễn z,
biểu diễn z` thì
biểu diễn z + z’ và
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
(

(

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

(
;

( z là số thực (
; z là số ảo (


6. Môđun của số phức : z = a + bi
(

(

(
(
(

7. Chia hai số phức:
Chia hai số phức:
.

(
(z ( 0) (
(

8. Căn bậc hai của số phức:
(
là căn bậc hai của số phức
(
(

( w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
( w
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
( Hai căn bậc hai của a > 0 là

( Hai căn bậc hai của a < 0 là

9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
).


(
: (*) có hai nghiệm phân biệt
, (
là 1 căn bậc hai của ()

(
: (*) có 1 nghiệm kép:

Chú ý: Nếu z0( C là một nghiệm của (*) thì
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)

a) Acgumen của số phức z ≠ 0:
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Nếu ( là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ( + k2( (k(Z).
b) Dạng lượng giác của số phức :
Dạng z = r(cos( + isin() (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, b(R) (z ≠ 0)
(
(( là acgumen của z, ( = (Ox, OM).
c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu z = r(cos( + isin(), z’ = r’(cos(’ + isin(’) thì:
z.z’ = rr’[cos(( + (’) + isin(( +(’)]

.
d) Công thức Moa-vrơ :
Với n là số nguyên, n ( 1 thì :


Khi r = 1, ta được :

e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Các căn bậc hai của số phức z = r(cos( + isin() (r > 0) là :
và
.
II – CÁC DẠNG BÀI TẬP

PHẦN 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:Cho số phức z =
. Tính các số phức sau:
; z2; (
)3; 1 + z + z2
Giải:
Vì z =
(
=

Ta có z2 =
=
=

( (
)2 =

(
)3 =(
)2 .
=

Ta có: 1 + z + z2 =

Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Giải:Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
( (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
(
Giải hệ này ta được:

Ví dụ 3: Tính:
i105