ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài 120 phút (Không kể giao đề)
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a, A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
b, B =
Có giá trị là một số nguyên.
c, D= n5-n+2 là số chính phương. (n
2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng :
a,
biết abc=1

b, Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c,

Câu 3: (5điểm) Giải các phương trình sau:
a,

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dương.
Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đường chéo.Qua 0 kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.
a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b. Chứng minh:

c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF.


Đáp án đề 1

Câu
 Nội dung bài giải







Câu 1
(5điểm)
a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A là số nguyên tố thì n-1=1
n=2 khi đó A=5


b, (2điểm) B=n2+3n-

B có giá trị nguyên
2
n2+2
n2+2 là ước tự nhiên của 2
n2+2=1 không có giá trị thoả mãn
Hoặc n2+2=2
n=0 Với n=0 thì B có giá trị nguyên.


c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)
+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2
5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)
Và 5 n(n-1)(n+1
5 Vậy D chia 5 dư 2
Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phương
Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương











Câu 2
(5điểm)
a, (1điểm)


=




b, (2điểm) a+b+c=0
a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0
a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)

a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0

a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . Vì a+b+c=0

2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Từ (1)và(2)
a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2



c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2
2xy Dấu bằng khi x=y

;
;

Cộng từng