SH6.CHUYÊN ĐỀ 1-TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 1.5-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của
n thừa số a

(

);

thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng

gọi là cơ số,

gọi là số mũ.

2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số
3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số
Quy ước
4.Luỹ thừa của luỹ thừa
5. Luỹ thừa mộttích
6. Một số luỹ thừa của 10:
- Một nghìn:
- Một vạn:
- Một triệu:
- Một tỉ:
Tổng quát: nếu

là số tự nhiên khác

thì:

7. Thứ tự thực hiện phép tính:
Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:
- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực
hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.
- Nếu biểu thức có dấu ngoặc
,
ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến
các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Sử dụng công thức:

1)

thừa số
(a

);

gọi là cơ số,

gọi là số mũ.

2)
3)
Quy ước
4)
5)
II.Bài toán.
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa
A. 24.34

A. 23.32

A. 4 2.43

A. 24.34

2Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

b)

c)

Lời giải
a)

b)

c)

Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:
a)

b)

Lời giải
a)

b)

Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
a)

b)

d)

e)

g)
Lời giải

h)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Bài 5.Tìm các số mũ

sao cho luỹ thừa

c)
f)

thảo mãn điều kiện:

Lời giải
Ta có:
Vậy với số mũ

nhưng
ta có

Bài 6 : Thực hiện phép tính:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)
Lời giải

h)

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

Bài 7: Thực hiện phép tính.
a)

b)

c)

d)

e)
Lời giải

f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 8: Thực hiện phép tính.
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)
Lời giải

l)

a)

b)

c)

e)

d)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Bài 9 : Thực hiện phép tính.
a)

b)

c)
Lời giải:

d)

a)

c)

b)

d)

Bài 10: Thực hiện phép tính.
a)

b)

c)

d)

e)
Lời giải:

f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải:

Bài 12: Tính:
a)
c)
Lời giải:
a)

b)

Vậy
b)

c)

Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử
dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
Với

ta có:

hoặc
Với

thì

là các biểu thức ta có :

và
và
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh:
a)

và

b)

và

c)

và

Lời giải
a) Vì

nên

b) Vì

nên

và
và

c) Ta có :

Vậy
Bài 2. So sánh
a)

và

e)

b)

và

f)

c)

và

d)

g)
và

h)

Lời giải
a) Ta có :

Vì
b) Tương tự câu a) ta có :

Vì
c) Ta có :

nên

và
và
và
và

d) Ta có :

Vì

nên

e) Ta thấy :
f) ta có :

(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :

g) Ta có :

(*)
(**)

Từ (*) và (**)
h) Có :

Vì

nên

Bài 3. Chứng tỏ rằng :
Lời giải
Ta có :

(1)
Lại có:

(2)
Từ (1) và (2)
Bài 4.So sánh:

a)

và

b)

và

Lời giải
a) Ta thấy :

(1)
(2)

Từ (1) và (2)
b)

Vậy
Bài 5. So sách các cặp số sau:
a)

và

b)

và

Lời giải
b)

a) Ta có

Vì

nên

Vậy
Bài 6.So sánh các số sau:
a)

và

b)

Lời giải
a)

Vậy
b)
Bài 7. So sánh 2 hiệu:
Lời giải

và

và

Vậy
Bài 8.So sánh các số sau:
a)

và

d)

b)
và

e)

và

c)

và

và

Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

Vì

nên

Vì

c) Ta có:

nên

d) Ta có:
Vậy

Vì
e) Ta có:
Ta so sánh

Bài 9: So sánh

a)
Lời giải:
a)

Vậy
b)

;
và

Vậy 303202< 2002303

và

b)

và

Vậy

Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA
I. Phương pháp giải. Khigiải bài toán tìm

có luỹ thừa phải:

Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số .
Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ .
Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa.
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm x, biết.
a)

b)

d)

e)

h)

a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
e) Ta có:
g) Ta có:
h) Ta có:
k) Ta có:
Bài 2.Tìm

g)
k)

Lời giải

biết.

c)

a)

b)

c)
Lời giải

d)

a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:

Bài 3.Tìm , biết.
a)

b)

c)

d)

e)
Lời giải

g)

a) Ta có:

b) Ta có:
c) Ta có:
TH 1:

.

TH 2:
Vậy

d)

.
hoặc

Vậy
e) Ta có:

g) Ta có:
Bài 4: Tìm

biết:

a,
Lời giải

b,

c,

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:
Bài 5: Tìm x biết:
a,
Lời giải

b,

c)

a) Ta có:

b) Ta có:
Vậy
c) Ta có:
Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng
số mũ .
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn

) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .

Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
thì
II.Bài toán.
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
Bài 1. So sánh các lũy thừa:
Lời giải

và

Ta có:

Vì
nên
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
- Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.
- Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.
- Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay
bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng
phần tương ứng.
Với

. Ta có:

- Nếu

thì

và

.

- Nếu

thì

và

.(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù)

* Với biểu thức là tổng các số có dạng

Bài 1. Cho

(với

. So sánh

) ta có vận dụng so sánh sau:

với

.

Lời giải
Ta có:

Mà
Vậy

.

Bài 2.So sánh hai biểu thức
Lời giải

và

, biết:

và

Ta có:

=

=

=
Vì

.

=

.

nên
hay

Bài 3.So sánh hai biểu thức
Lời giải

và

, biết:

và

Ta có:

.

Vì

nên

hay
Vậy
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.
* Với các số tự nhiên
và số dương .
+ Nếu

thì:

.

+ Nếu

thì:

.

* Với các số dương

và số tự nhiên

, ta có:

.

Bài 3. Tìm các số nguyên n thoã mãn:
Lời giải
Ta giải từng bất đẳng thức

và

.

.

Ta có:
(với

)

(1).

Mặt khác
(với
Từ (1) và (2)
Vậy

)
.

nhận các giá trị nguyên là:

(2).

Bài 4. Tìm
a)
Lời giải

, biết:
.

b)

.

a) Ta có:
.
b) Ta có:

.
Bài 5: Tìm số tự nhiên
Lời giải

sao cho

.

Ta có:
Nếu

thỏa mãn.

Nếu

có chữ số tận cùng là

phương nên không thể có tận cùng bằng

. Khi đó,

có chữ số tận cùng là . Mà

. Do đó không tồn tại

là số chính

thỏa mãn.

Vậy
Bài 6:

a) Số

có bao nhiêu chữ số?

b) Hai số

và

viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?

Lời giải
a) Ta có:

Do đó
b) Giả sử
số.

có a chữ số và

Vì

có 6 chữ số.

có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được

và
. Do đó:

Vậy số đó có 2004 chữ số.
Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:

.

chữ

a)

.

b)

.

Lời giải
a) Ta có:

Số
gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy số n có 9 chữ số.
b) Ta có:

Số
Vậy số m có

gồm

theo sau là

chữ số

nên số này có tất cả

chữ số.

Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết
Bài 1: Chứng minh rằng:
a.
b.
c.
d.

chia hết cho
chia hết cho
chia hết cho
chia hết cho

e.

chia hết cho

f.

chia hết cho

g.

chia hết cho

h.

chia hết cho

i.

chia cho

j.
k.
Lời giải

chia hết cho
chia hết cho

và

chữ số.

a.

b.

c.

d.
Ta có:
tổng)
e.

f.

chia hết cho

chia hết cho

chia hết cho

chia hết cho
nên

(đpcm) (tính chất chia hết của một

chia hết cho

chia hết cho

Ta thấy:
Ta có:
vì tổng các chữ số bằng
vì có tận cùng là
Mà
g.

h.
Ta có:

Ta có:

Ta có:

nên

(đpcm)

chia hết cho

chia hết cho

Vậy

chia hết cho

.

i.

chia cho

và

Ta có:

Ta có:

Vậy

chia hết cho

j.

chia hết cho

Ta có:

(số
(số

có
có

chữ số

) 

chữ số )

Xét biểu thức trong ngoặc
(số
có chữ số )
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép
chia cho

.

Số

có

chữ số có tổng các chữ số là

(

chữ số ) và

(

chữ số )

có cùng số dư trong phép chia cho

hay
k.

(vì có

chia hết cho

(đpcm)

chia hết cho

Ta có:

Ta có:
chia hết cho
chia hết cho
chia hết cho

BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1.
So sánh:
Bài 2:

a)
và
So sánh:
a)

Bài 3:

.

và

c)
và
So sánh:

d)

b)

và

b)

và
và

.

chữ số ). 

a)

và

b)

c)
Bài 4:
Bài 5:

và

.

So sánh các số sau:
So sánh:
a)

Bài 6:

So sánh các số sau:

Bài 7.

Chứng tỏ rằng:

Bài 8:

Chứng minh rằng:

và

.
.

b)

và

và

.

.
.
.

Bài 9:

Chứng minh rằng:

Bài 10.

So sánh:

và

.

Bài 11:
Bài 12:

So sánh:
và
So sánh các số:

.

a)

d)

và

và

và

và

.

.

b)

Bài 13:Viết theo từ nhỏ đến lớn:

và
và

và

.

.

Bài 14:

So sánh 2 số:

Bài 15:

Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số
Hãy so sánh m với

Bài 16:

.

.

Cho
So sánh A và B.

và

Bài 17:

So sánh hai biểu thức:

Bài 18:

So sánh:

Bài 19:

So sánh M và N biết:

Bài 20:

So sánh

Bài 21:
Bài 22:

So sánh
Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a)

và
và

.

và

.
và

.

.
và

b)

Tìm số tự nhiên n biết rằng:

Bài 24:

Cho

Bài 25:
Bài 26:

Tìm các số nguyên dương m và n sao cho:
Tìm số nguyên dương biết:

.

.
.

. Tìm số tự nhiên

.

.

.

Bài 23:

a)

.

b)

, biết

.
.
.

Bài 27:
Bài 28:

Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho:
Tìm n  N biết:
a)

.

.
b*)

.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.

So sánh:

a)

và

.

b)

và

.

Lời giải:
a) Ta có:

;

Vì

.

b)
Bài 2:
a)

. Vì

.

So sánh:
và

c)

b)

và

và

d)

và

Lời giải:
a) Ta thấy:
Vì
b) Ta có :

,

Vì
c) Ta có:

.

nên

Vì
d) Ta có:

nên

(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 3:
So sánh:
a)

và

c)
Lời giải:

b)
và

.

d)

và
và

a) Ta có:
b) Ta có :

. Vì

,
Vì
c) Ta có:

,

Vì
.
d) Ta có :

Vì
Bài 4:
Lời giải:

Vì
Bài 5:
a)
Lời giải:

nên
So sánh các số sau:

và

.

.
So sánh:
và

.

b)

và

a)Ta có:

Vì

.

b) Ta có:
Bài 6:
Lời giải:

và
So sánh các số sau:

và

.

Ta có:

Vì
Bài 7.
Lời giải:
Ta có:
Lại có:

.
Chứng tỏ rằng:

.
(1)
(2)

.

Từ (1) và (2)
Bài 8:
Chứng minh rằng:
Lời giải:

.

Ta có:
Nhận xét:

nên cần so sánh

và

Có:
Có:

, cần so sánh

với số

như sau:

Do đó:
Mà
Bài 9:
Lời giải:

Chứng minh rằng:

.

Ta có:

(1)
Xét:

(vì 35<28)
(2)

Từ (1) và (2) ta có:

Bài 10.
Lời giải:

So sánh:

và

.

Ta có:

Bài 11:
Lời giải:
Ta có:

mà

So sánh:

và

.
(1)

(2)
Mà

(3)

Từ (1), (2), và (3) suy ra:
Bài 12:

So sánh các số:

a)
và
Lời giải:

.

b)

và

.

a) Ta có:

b) Ta có:
Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn:
Lời giải:

và

.

(1)
(2)
(3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra:
Bài 14: So sánh 2 số:
Lời giải:

và

.

Ta có:

Vì
Bài 15:

Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số
Hãy so sánh m với

.

.

Lời giải:
Số có 9 chữ số là

trong đó các chữ số

và có thể giống nhau. Từ tập hợp số

mỗi chữ số ai có 9 cách chọn. Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán
là

số.

Từ đó:
Bài 16:

Cho

và

.

So sánh A và B.
Lời giải:
Ta có:

Vậy A < B.

Bài 17:
Lời giải:

So sánh hai biểu thức:

và

.

Vậy B = C.

Bài 18:
Lời giải:

So sánh:

và

.

Ta có:

Vì

Bài 19:
Lời giải:

So sánh M và N biết:

nên

nên
Vì

và

.

hay 19M > 19N

Bài 20:
So sánh
Lời giải:
Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:

và

.

Áp dụng vào bài toán ta được:

Vậy

Bài 21:
So sánh
Lời giải:
A là tích của 99 số âm. Do đó:

và

Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:

Vậy A <

.

Bài 22:

Tìm các số tự nhiên n sao cho:

a)
Lời giải:

.

b)

.

a)
n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5.
b)
nhận các giá trị là: 2, 4, 5, 6, 7
Bài 23:
Lời giải:

Tìm số tự nhiên n biết rằng:

.

Ta có:

Bài 24:
Lời giải:

Cho

. Tìm số tự nhiên

, biết

.

Có

Mà theo đề bài ta có 2A + 3 = 3n

Bài 25:
Lời giải:

Tìm các số nguyên dương

và

Ta có:

sao cho:

.
(1)

Dễ thấy

, ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có:
2n.(2 – 1) = 28 => 2n = 28 => n = 8 và m = 9
Trường hợp 2: Nếu m – n
là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa
số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.
Vậy

và

là đáp số duy nhất.

Bài 26:
a)
Lời giải:

Tìm số nguyên dương

biết:

.

b)

a) Ta có: 64 < 2n< 256

mà

b) Ta có: 243 > 3n

.
nguyên dương nên

mà

nguyên dương nên

Bài 27:
Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho:
Lời giải:
Ta có: n200 = (n2)100; 6300 = (63)100 = 216100
n200 < 6300

.

.

(*)

Suy ra: số nguyên lớn nhất thỏa mãn (*) là n = 14.
Bài 28:
a)

Tìm n  N biết:
.

b*)

Lời giải:
a)
Suy ra
Vậy
b) Với
Nhận thấy:

Nhận thấy:

, ta xét:
nên

nên

Do đó:
HẾT

.

.