Sáng kiến kinh nghiệm: Áp dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán

Tìm kiếm Giáo án

Gốc > Trung học cơ sở > Toán học > Toán 9 > Đại số 9 >

0 / 0

Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả

Nguồn: tự soạn
Người gửi: Bùi Thúy Nga (trang riêng)
Ngày gửi: 21h:57' 03-04-2008
Dung lượng: 666.0 KB
Số lượt tải: 1486

Số lượt thích: 0 người

I ) Lý do chọn đề tài
Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu .
Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm ... của phương trình . Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số . Trong trường hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trường chuyên lớp chọn ...Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

II ) Nội dung đề tài
A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S = và P =
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai :

B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình
Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
b)
c)
Giải
Theo hệ thức Vi – ét có S =
P =
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x và x cùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương
Theo hệ thức Vi – ét có P = nên 2 nghiệm cùng dấu
S = nên 2 nghiệm cùng dấu âm
c) P = nên 2 nghiệm trái dấu
S =

Bài tập 2 : Cho phương trình (1)
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m< 0 với mọi m 0
Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = < 0 . Do đó và trái dấu
S = nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000) (3đ)
Cho phương trình (1) (với m là tham số)
a) Giải phương trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x Tìm m để biểu thức
đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a) Thay m = 2 vào phương trình ta được
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b)Xét
Có
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x
Từ kết quả phần b có x, x 0 , biểu thức A được xác định với mọi x, x tính theo m và
Đặt Với a > 0
Có A = -a + mang giá trị âm
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
Có – A = a +
Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và ( vì a > 0 và )
Có
Vậy – A 2 nên – A có giá trị nhỏ nhất là 2 <=> A 2 nên A có GTLN là - 2

( thoả mãn điều kiện a > 0 )
Với a = 1 thì
Theo kết quả có

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2

2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phương trình :
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0

a, c trái dấu nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m
Theo hệ thức Vi ét P = do đó 2 nghiệm trái dấu
b) Ta có

=

Vậy Min khi m =

Bài tập 5:
Cho phương trình
Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu
Với điều kiện này giả sử x< 0 ,x > 0 theo đề ra ta có

Vì m > 0 nên ta chọn m = ( thoả mãn điều kiện )
Kết luận : Vậy với m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia .

Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)
Xét phương trình : (1) với m là tham số
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
Gọi các nghiệm của phương trình (1) là . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M =

Giải :
1) Đặt x = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành
(2)

Có nên Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi – ét có

Xét có
nên P > 0 với mọi m Z
cùng dấu
Xét .
Vì
nên S > 0 cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y 0)
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có
và

Thay kết quả S và P vào M ta được

Kết luận:

Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ)
Cho phương trình ( mlà tham số)
Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
Trong trường hợp m > 0 và là các nghiệm của phương trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức
Giải:
a)

Vì nên
Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b)
Theo kết quả phần a phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
áp dụng hệ thức Vi – ét ta có
S =
P =
Vì P = m > 0 nên biểu thức A được xác định với mọi giá trị tính theo m

=
Thay S và P vào biểu thức A ta được :

Theo bất dẳng thức Cô Si vì ( do m > 0và )

Vậy biểu thức A có GTNN là 8
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra m =

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0
m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ)
Xét phuương trình mx+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thoả mãn
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ
Giải
a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm
Xét

Vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là m và m
Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

Gọi

áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK )

Có a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m = 1 ( thoả mãn điều kiện m và m )
m = ( không thoả mãn điều kiện m và m )
Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn
Gọi n ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m 0 )
Theo kết quả phần a ta có

vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m
( do n > 0 )

Vì n nên 1- n và n => là phân số
tử n +2 và n +1 => là phân số
Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ

3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết
x + y = 11 và xy = 28
x – y = 5 và xy = 66
Giải :
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình x - 11x + 28 = 0
= 121 – 112 = 9 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
= 4
Vậy x = 7 thì y = 4
x = 4 thì y = 7
b) Ta có
có x , y là nghiệm của phương trình x - 5x - 66 = 0
= 25 + 264 = 289 > 0 , = 17
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11

Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x + y = 25 và xy = 12
Giải :
Ta có x + y = 25 <=> (x + y ) - 2xy = 25 <=> (x + y )- 2.12 = 25
(x + y ) = 49 <=> x +y = 7
* Trường hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0
= 49 – 4.12 = 1

* Trường hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x +7x +12 = 0
Giải phương trình ta được x = -3 ; x= - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc
tham

Hay , cái này ôn thi cho học sinh cuối cấp đỡ quá , bạn bỏ công sưu tầm đề thi từ tỉnh mình đến khắp các tỉnh khác, lại còn kèm lời giải chi tiết . Cảm ơn bạn nhé . Có 1 số lỗi đánh máy nhỏ bạn xem sửa lại nghe .còn cái nào giúp đõ cho bà con tí !!!!!!!Hì .... tham lam quá không

Nguyễn Hồng Sơn @ 20h:08p 13/04/08

Mời các thầy cô tham khảo chuyên đề của trường tôi. chuyên đề về hệ thức ViEt do tôi (Ngô Quốc Hưng ) đưa lên

Admin Z @ 21h:44p 13/04/08

KG ban quản lý BK : Cảm ơn anh Đình Hải Minh và các công sự . Tôi đã nhận được bản quyền phần mềm Violét của công ty Bạch Kim gửi tặng như lời hứa với những thành viên được trên 2000 điểm . Mong các anh tiếp tục có chính sách "ưu đãi" các thành viên của mình với các phần thưởng khác . Chúc các đồng nghiệp khác mau nhận được phần thưởng . Nga

Bùi Thúy Nga @ 20h:56p 14/04/08

Trời ơi sao tôi chưa nhận được nhỉ? BQT ơi tôi thất vọng quá, có ai cho tôi mượn cái dây thừng với, à không cần, dây gì cũng được!!!

Nguyễn Tuấn Cường @ 21h:27p 14/04/08

mình buồn cười quá. bạn Nguyễn Tuấn Cường vui tính thật. Bạn mượn dây thừng để làm gì? Trói ai à. hì hì...

Admin Z @ 21h:48p 14/04/08

Bạn cứ đùa, tôi yếu bóng vía không dám nhảy lầu nên đành tìm dây gì đó xài đỡ....

Nguyễn Tuấn Cường @ 21h:59p 14/04/08

Tôi thì lại nghĩ bạn trói người khác .

Admin Z @ 22h:05p 14/04/08

To Quốc Hưng: Chứ bạn nghĩ tôi trói được ai?

Nguyễn Tuấn Cường @ 22h:09p 14/04/08

MÌnh là Ngô Quốc Hưng chứ không phải To Quốc Hưng. Trói người không cho bạn phần mềm ý

Admin Z @ 22h:36p 14/04/08

"Cái gì cũng từ từ". Bác xứng đáng nhận được quà từ bachkim nhưng hiện nay nhiều thành viên tích cực lắm cả về số lượng lẫn chất lượng BQT không lường trước đựoc.Chắc phải trên 10.000 điêm!!!

Lương Văn Thành @ 22h:43p 14/04/08

12 3

↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓

MUỐN TẮT QUẢNG CÁO?

Thư mục

Các ý kiến mới nhất

Thống kê

Thành viên trực tuyến

Tin tức thư viện

Khắc phục hiện tượng không xuất hiện menu Bộ công cụ Violet trên PowerPoint và Word

Quảng cáo

Hướng dẫn sử dụng thư viện

Bài 4: Quản lí ngân hàng câu hỏi và sinh đề có điều kiện

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

Tìm kiếm Giáo án