LỜI NÓI ĐẦU

Ta đã biết cách giải , giải và biện luận, so sánh nghiệm đối với phương trình bậc nhất và bậc hai. Tuy nhiên, trong thưc tế có những bài toán để giải được chúng ta còn đưa về phương trình bậc ba , bốn, . . ..Phương trình có bậc lớn hơn 2,chẳng hạn : phương trình bậc 3, bậc 4 thì ta gọi chung đó là phương trình bậc cao.

Phương trình bậc cao là một vấn đề thường xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏi, thi đại học, cao đẳng, THCN. Do đó đây là một vấn đề quan trọng. Nhưng để giải được các phương trình này, học sinh cần phải nắm được các dạng tương ứng với các cách giải cụ thể. Nếu học sinh tự đọc sách, tự nghiên cứu, tìm tòi thì khó mà hình thành được các phương pháp giải một cách rõ ràng và đầy đủ các dạng toán.

Trên cơ sở đó, để giúp cho các em học sinh có một nền tảng vững chắc về phương trình bậc cao. Với kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy, tôi đã đúc kết được một số dạng cùng các phương pháp giải của từng phương trình, giúp các em định hướng giải một bài toán tốt hơn.

Mong rằng chuyên đề này sẽ giúp cho các em học sinh có một kiến thức vững chắc về phương trình bậc cao để các em có thể vận dụng vào giải toán sau này. Chuyên đề này chỉ xoay quanh hai phương trình là : phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn.

NỘI DUNG:

Sơ lươc về đa thức
Phương trình bậc ba (Các dạng và phương pháp giải)
Phương trình bậc bốn (Các dạng và phương pháp giải)

Trong mỗi phương trình đều có các dạng và các cách giải cụ thể , các ví dụ minh họa, giúp học sinh khắc sâu phương pháp giải.

Sau đây là nội dung cụ thể :








PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO


I. ĐA THỨC :
1) Đa thức bậc n :
Đa thức bâc n (n nguyên dương) là biểu thức có dạng :
P(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . . + a1x + ao (an ≠ 0)
Nếu tồn tại số thực xo sao cho P(xo) = 0 thì xo được gọi là nghiệm của P(x).
Nếu P(x) có nghiệm là xo thì ta có : P(x) = (x – xo).Q(x), trong đó Q(x) là một đa thức bậc n – 1.
Một đa thức bậc n có nhiều nhất là n nghiệm.
2) Phép chia đa thức :
Với mọi đa thức f(x) và g(x) ( g(x) ≠ 0), tồn tại 2 đa thức Q(x) và r(x) sao cho : f(x) = Q(x).g(x) + r(x), (x(R
Trong đó : r(x) là dư trong phép chia
Q(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x), bậc r(x) bé hơn
bậc Q(x).
Nếu r(x) = 0 thì f(x) = Q(x). g(x). Ta nói f(x) chia hết cho g(x)
Sơ đồ Horner :
Cho đa thức : f(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . . + a1x + ao (an ≠ 0)
Giả sử ta nhẫm được c là một nghiệm của f(x). Ta sẽ thực hiện phép chia f(x) cho (x – c) như sau :


Trong đó : bn = an
bn – 1 = c.an + an -1
bn -2 = c.bn -1 + an -2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
bo = c.b1 + a1
Khi đó : f(x) = (x – c)(bn.xn -1 + bn -1.xn -2 + . . . + bo)


II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA :

Dạng tổng quát : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)

1) Giải phương trình bậc ba trong vài trường hợp đặc biệt :
a) Trường hợp nhẩm trước được một nghiệm x1:
Chuyển (1) về dạng : (x – x1)(ax2 + mx –
) = 0 (2)
(Số m được xác định bởi phép chia đa thức)
Giải (2) bằng cách đặt : f(x) = ax2 + mx –
thì :
(1) có nghiệm kép ( f