Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
1) Các định nghĩa:
* Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo ( i2 = −1), khi đó: z = a + bi được gọi là một số phức.
a: được gọi là phần thực ; b: được gọi là phần ảo
Tập các số phức được kí hiệu là (
( Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R
(.
( Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.
0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
*
= a − bi là số phức liên hợp của z = a + bi và ngược lại
* Mô đun của số phức z = a + bi là | z | =



z là số thực khi và chỉ khi z =

2) Các phép toán và tính chất cơ bản:
( (a + bi) = (c + di)


( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
( (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
( (a + bi).(c + di) = nhân bình thường như nhân đa thức
(
(nhân tử, mẫu cho số phức liên hợp ở mẫu)
3) Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b
) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. ( Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, ( Trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b
) cũng được biểu diễn bởi vectơ
, do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a,b
) cũng có nghĩa là
biểu diễn số phức đó.
Ta có:Nếu
theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z` thì
(
biểu diễn số phức z + z`,
(
biểu diễn số phức z − z`,
( k
biểu diễn số phức kz,
(
, với M là điểm biểu diễn của z.
1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức
Vd1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau
a) z =i + (2 − 4i) − (3 − 2i); b) z’ =

a) z = (0 + 2 − 3) + (1 − 4 + 2)i = −1 − i.
Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − 1.
b) Kết quả: 2 + 10i
Vd2 Tính
=

Ví dụ 3: Tính 1 + i + i2 + i3 + …+ i2009
Ta có 1 – i2010 = (1 – i)1 + i + i2 + i3 + …+ i2009
Mà 1 − i2010 =2. Nên
= 1 + i.
Vd 4: Tính (1 − i)100 =

Vd5 Cmr:
Với

Do
(
;
Lại có
. Suy ra
. Hơn nữa ta có z3 = z2.z = 1.
Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu
.
Đặt z = x + yi, khi đó


(

Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i.
2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a)
; b)
.
a) Đặt z = x + yi suy ra z − 1 + i = (x − 1) + (y + 1)i.


Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = 2.
b) |2 + x + yi| = |i − x − yi| ( (x + 2)2+ y2 = x2 + (1 − y)2 ( 4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
Cách 2: Gọi A (− 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó

hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
*Ví