SỔ☁️ TổngTAY
NGUYÊN
HÀM
TOÁN
12
hợp kiến thức, định lý & bảng công thức chuẩn VIP ☁️
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu:
F'(x) = f(x), ∀ x ∈ K
Ký hiệu họ nguyên hàm: ∫ f(x)dx = F(x) + C   (C ℜ là hằng số)
∈

2. Các Tính Chất Cơ Bản
✦ Đạo hàm của nguyên hàm: (∫ f(x)dx)' = f(x)  và  ∫ f'(x)dx = f(x) + C
✦ Vi phân: ∫ d(F(x)) = F(x) + C
✦ Nhân với hằng số (k ≠ 0): ∫ k · f(x)dx = k ∫ f(x)dx
✦ Tổng / Hiệu nguyên hàm: ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

II. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN & MỞ RỘNG
STT

1
2
3
4
5
6

Nguyên hàm cơ bản f(x)

Nguyên hàm hàm hợp f(u) hoặc (ax+b)

∫ 0 dx = C

∫ 0 du = C

∫ 1 dx = x + C

∫ dx = (ax+b)/a + C

∫ xα dx = x ⁄(α+1) + C  (α ≠ -1)
∫ 1⁄x dx = ln|x| + C

∫ (ax+b)α dx = 1⁄a · (ax+b) ⁄(α+1) + C
∫ 1⁄(ax+b) dx = 1⁄a ln|ax+b| + C

∫ ex dx = ex + C

∫ eax+b dx = 1⁄a eax+b + C

∫ ax dx = ax⁄ln a + C  (0 < a ≠ 1)

∫ akx+m dx = 1⁄k · akx+m⁄ln a + C

α+1

α+1

Mẹo ghi nhớ nhanh: Khi lấy nguyên hàm của hàm hợp bậc nhất f(ax+b), luôn luôn nhân thêm hệ số
nghịch đảo 1⁄a ở trước kết quả!

Sổ Tay Học Tập Math Cute • Chuyên Đề Nguyên Hàm

Trang 1 / 3

III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC
STT

1
2
3
4
5
6

Hàm số lượng giác đơn x

Hàm hợp lượng giác (ax+b)

∫ cos x dx = sin x + C

∫ cos(ax+b)dx = 1⁄a sin(ax+b) + C

∫ sin x dx = -cos x + C

∫ sin(ax+b)dx = -1⁄a cos(ax+b) + C

∫ 1⁄cos2x dx = tan x + C

∫ 1⁄cos2(ax+b) dx = 1⁄a tan(ax+b) + C

∫ 1⁄sin2x dx = -cot x + C

∫ 1⁄sin2(ax+b) dx = -1⁄a cot(ax+b) + C

∫ tan x dx = -ln|cos x| + C

∫ tan(ax+b)dx = -1⁄a ln|cos(ax+b)| + C

∫ cot x dx = ln|sin x| + C

∫ cot(ax+b)dx = 1⁄a ln|sin(ax+b)| + C

IV. NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG & NÂNG CAO (GIAI ĐOẠN ĐIỂM 8+ 9+)
Dạng Phân Thức Đặc Biệt
✦ ∫ dx⁄(x2 - a2) = 1⁄2a ln|(x-a)⁄(x+a)| + C
✦ ∫ dx⁄(x2 + a2) = 1⁄a arctan(x⁄a) + C
✦ ∫ dx⁄(a2 - x2) = 1⁄2a ln|(a+x)⁄(a-x)| + C

Dạng Căn Thức Thường Gặp
✦ ∫ dx⁄√(a2 - x2) = arcsin(x⁄|a|) + C
✦ ∫ dx⁄√(x2 + a) = ln|x + √(x2 + a)| + C
✦ ∫ u'(x)⁄√u(x) dx = 2√u(x) + C

Công Thức Tích Mũ & Lượng Giác
ax
✦ ∫ eax cos(bx) dx = e ⁄(a2 + b2) [a cos(bx) + b sin(bx)] + C
ax
✦ ∫ eax sin(bx) dx = e ⁄(a2 + b2) [a sin(bx) - b cos(bx)] + C

Sổ Tay Học Tập Math Cute • Chuyên Đề Nguyên Hàm

Trang 2 / 3

V. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP NGUYÊN HÀM
1. Phương Pháp Đổi Biến Số (Đổi biến loại 1)

Áp dụng khi biểu thức dưới dấu nguyên hàm có dạng f(u(x)) · u'(x)dx
✦
✦
✦
✦

Bước 1: Đặt ẩn phụ t = u(x).
Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = u'(x)dx.
Bước 3: Biến đổi nguyên hàm ban đầu thành: ∫ f(x)dx = ∫ g(t)dt = G(t) + C.
Bước 4: Trả lại biến cũ x bằng cách thay t = u(x) vào kết quả.

2. Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần

∫ u · dv = u · v - ∫ v · du
Thứ tự ưu tiên đặt u (Thần chú học thuộc):
Dạng bài tích ∫ f(x)dx

"NHẤT LÔ - NHÌ ĐA - TAM LƯỢNG - TỨ MŨ"

P(x) · ln x (Đa thức × Logarit)
P(x) · eax (Đa thức × Mũ)
P(x) · sin(ax) hoặc cos(ax)

Đặt u

Đặt dv

u = ln x

dv = P(x)dx

u = P(x)

dv = eaxdx

u = P(x)

dv = sin(ax)dx / cos(ax)dx

Lời nhắn đáng yêu: Ôn tập công thức mỗi ngày 15 phút sẽ giúp bạn làm bài tập Nguyên Hàm - Tích
Phân siêu nhanh và chính xác! Chúc bạn đạt điểm 10 môn Toán nhé! 🌟✨

Sổ Tay Học Tập Math Cute • Chuyên Đề Nguyên Hàm

Trang 3 / 3