KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Trường: THPT Vạn Tường
Tổ: Toán

Họ và tên giáo viên:
……………………
BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán . Lớp: 11
Thời gian thực hiện: (2 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức:
- Nêu được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, trên một đoạn.
- Nhận dạng tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục.
- Nhận biết tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản trên tập xác định của chúng.
2. Về năng lực:
- Năng lực giao tiếp toán học: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có
thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực giải quyết vấn đề toán học : Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân
tích được các tình huống trong học tập.
- Năng lực tư duy và lập luận toán học: Học sinh thực hiện được thao tác tư duy so sánh, khái quát hóa...
nhờ đó thấy được khả năng áp dụng vào các bài toán thực tế trong cuộc sống của hàm số liên tục, từ đó
lập luận toán học để giải quyết vấn đề. (ví dụ là bài toán chuyển động đơn giản).
3. Về phẩm chất:
- Thông qua thực hiện bài học cung cấp cho học sinh kiến thức về hàm số liên tục. Rèn luyện tính cẩn
thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.
- Chăm học, chăm chỉ đọc sách giáo khoa, tài liệu và thực hiện các nhiệm vụ cá nhân nhằm tìm hiểu về
hàm số liên rục, qua đó vận dụng kiến thức của bài học để giải quyết được các bài toán thực tiễn về hàm
số liên tục và hình thành kiến thức nền cho một số kiến thức khác.
- Có trách nhiệm trong hoạt động nhóm, chủ động và thực hiện các nhiệm vụ được giao trong bài tập
hợp.
- Trung thực trong hoạt động động nhóm và giải quyết vấn đề.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Kiến thức về giới hạn của hàm số, hàm số liên tục.
- Máy chiếu
- Bảng phụ
- Phiếu học tập
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. Hoạt động 1: Mở đầu
a) Mục tiêu: Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới và tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái
niệm “liên tục”.
b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tìm hiểu và trả lời các câu hỏi.
H1- Theo em ở bức ảnh nào xe có thể chạy thông suốt?

Trang | 1

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Hình 1

Hình 2
Cầu quay sông Hàn – Đà Nẵng

Hình 3
Hình 4
Hố tử thần xuất hiện ở thành phố thành phố Fukuoka – Nhật Bản
H2- Cho hai đồ thị hàm số. Đồ thị nào được vẽ bằng một nét liền?

Hình 5
Hình 6
H3- Em có thể đưa ra thêm một số ví dụ về những hàm số đã học có đồ thị là một đường liền nét trên tập
xác định của nó? Đồ thị là một đường không liền nét trên tập xác định của nó?
c) Sản phẩm:
Câu trả lời của HS
Đ1- Hình 2 và Hình 4 các phương tiện đường bộ có thể chạy thông suốt; ở Hình 1 và Hình 3 vì “đường
đứt đoạn” nên các phương tiện đường bộ không lưu thông được.
Đ2- Đồ thị ở Hình 5 là đường không liền nét mà bị đứt quãng tại điểm có hoành độ 
là một đường liền nét.
Đ3- Đồ thị các hàm số 
số 

; đồ thị ở Hình 6

là một đường liền nét trên Rℝ; Đồ thị hàm

có đồ thị không liền nét trên tập xác định của nó.

Trang | 2

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

d) Tổ chức thực hiện:
*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu và trình chiếu câu hỏi, yêu cầu HS làm việc cá nhân để hoàn thành hệ
thống câu hỏi.
*) Thực hiện:  HS suy nghĩ độc lập. 
*) Báo cáo, thảo luận:  
- GV gọi lần lượt 3 HS lên bảng trình bày câu trả lời của mình.
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:
- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Dẫn dắt vào bài mới.
2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức
1

Hàm số liên tục tại một điểm

a) Mục tiêu:
- Hình thành kiến thức khái niệm hàm số liên tục tại một điểm hay gián đoạn tại một điểm.
b) Nội dung:
Thông qua bài toán

Cho hàm số

a) Tính

có đồ thị như hình vẽ

,

.
Trang | 3

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

b) So sánh các giá trị trên và nhận xét đồ thị của hàm số tại điểm

c) Nếu thay đề bài

.

em hãy nhận xét về đồ thị khi đó?

Học sinh tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

từ đó nêu cách xét tính liên tục của hàm số

tại điểm
và vận dụng vào bài toán cụ thể.
c) Sản phẩm:

, đồ thị là đường liền (liên tục).
- Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

.

- Cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm
+ Tính

.

và

+ So sánh
và
+ Kết luận: Tính liên tục của hàm số.
-Vận dụng vào bài toán cụ thể.
d) Tổ chức thực hiện:
GV: tổ chức, giao nhiệm vụ:
Chuyển giao

Thực hiện

Giải bài toán theo hướng dẫn, tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm
trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm
dụng vào bài toán cụ thể.
HS: Nhận nhiệm vụ.

và vận

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

Trang | 4

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

HS: các nhóm đưa ra cách giải và tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm
trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm
và vận dụng vào bài toán cụ thể.
GV: HD hàm số liên tục tại một điểm.
- HS: Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

.

- Cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm
+ Tính

.

và

+ So sánh
và
+ Kết luận: Tính liên tục của hàm số.
- Áp dụng làm ví dụ.
1. Xét tính liên tục của hàm số:
+ Tính

và

+ So sánh
Báo cáo thảo luận

và

+ Kết luận:

liên tục tại

2. Cho hàm số f(x) =
+ Tính

tại

. Xét tính liên tục của hàm số tại

và

+

liên tục tại

+

gián đoạn tại

3. Cho hàm số f(x) =

. Xét tính liên tục của hàm số tại

+ Tính
+ So sánh
+ Kết luận:
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

gián đoạn tại

GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức
Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

2

Hàm số liên tục trên một khoảng

a) Mục tiêu:
Trang | 5

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

- Hình thành tính chất hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định
của nó.
b) Nội dung:
- Giáo viên cho học sinh đọc và nghiên cứu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một
đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào bài toán cụ thể.
c) Sản phẩm:
1.Định nghĩa :
 Hàm số

được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

 Hàm số

được gọi là liên tục trên

nếu nó liên tục trên

và

.
2. Chú ý:
Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng là 1 “đường liền” trên khoảng đó.
3. Vận dụng vào bài toán cụ thể.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao

Thực hiện

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ: tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục trên một
khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào
bài toán cụ thể.
HS: Nhận nhiệm vụ.
GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.
HS: các nhóm đọc định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một
đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào bài toán cụ thể.

Báo cáo thảo luận 1. Định nghĩa:
 Hàm số
được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng đó.
 hàm số

được gọi là liên tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên

và

.
2. Chú ý:
Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.
3. Vận dụng vào bài toán cụ thể.

VD1. Cho hàm số
tục trên
A.

. Giá trị của

để

liên

là
B.

C.

D.
Trang | 6

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Đáp án : C.
Cách 1 : (Tự luận)
Với

:

Với

liên tục trên
:

Với

liên tục trên

ta có

.
.

.

Ta có

.
khi nó phải liên tục tại

Vậy để hàm số liên tục trên
.

Cách 2: Sử dụng MTCT. Dễ dàng thấy hàm số liên tục trên
tìm điều kiện để nó liên tục phải tại
Tính

.

bằng cách tính giá trị hàm số
(sử dụng chức năng CALC) được kết quả gần bằng

. Vậy
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

nên ta chỉ cần

tại
và

.

GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức
Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

3

Một số tính chất cơ bản

a) Mục tiêu:
- Hình thành tính chất của những hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên
tập xác định của nó, chứng minh phương trình có
b) Nội dung:

nghiệm trong

.

- Giáo viên cho học sinh tìm hiểu tính chất của những hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một
đoạn, liên tục trên tập xác định của nó từ đó nêu chứng minh phương trình có
c) Sản phẩm:

nghiệm trong

.

Định lí 1:
a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b. Hàm số phân thức hữu tỉ (Thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên tùng
khoảng xác định của chúng.
Định lí 2: Giả sử

là hai hàm số liên tục tại điểm

. Khi đó:
Trang | 7

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

a. Các hàm số
b. Hàm số

và
liên tục tại điểm

Định lí 3: Nếu hàm số

liên tục tại điểm

nếu

.

liên tục trên đoạn

điểm
sao cho
d) Tổ chức thực hiện:

.

và

thì tồn tại ít nhất một

.

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ: tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm
Chuyển giao

trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm
dụng vào bài toán cụ thể.
HS: Nhận nhiệm vụ.

và vận

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.
Thực hiện

HS: các nhóm đọc định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

trong sách giáo

khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm

và vận dụng vào bài

toán cụ thể.
Báo cáo thảo luận GV: HD nêu các định lý
HS: nêu các định lý
Định lí 1:
a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b. Hàm số phân thức hữu tỉ (Thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác
liên tục trên tùng khoảng xác định của chúng.
đó:

Định lí 2: Giả sử

là hai hàm số liên tục tại điểm

a. Các hàm số
điểm

và

. Khi

liên tục tại

.

b. Hàm số

liên tục tại điểm

Định lí 3: Nếu hàm số

nếu

.

liên tục trên đoạn

thì tồn tại ít nhất một điểm

sao cho

và

.

*Phương pháp chứng minh phương trình có

nghiệm trong

Cho phương trình
Để chứng minh phương trình
sau :
Bước 1 : Chọn các số
mãn :

có

nghiệm trong
chia đoạn

, ta thực hiện các bước
thành

đoạn thỏa

Trang | 8

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Hàm số

liên tục trên

nên liện tục trên

đoạn

.
Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình

trên

.

VD2. Số nghiệm thực của phương trình :
:
A. .
B. .
Đáp án : D
Hướng dẫn giải :

C.

Cách 1: Xét hàm số

thuộc khoảng
.

D.

.

liên tục trên

Ta có :

là

.

.

Suy ra :

;

Do đó phương trình :
Cách 2 : Sử dụng MTCT.

và
có ít nhất

+ Bấm máy tính giải phương trình bậc

.
ngiệm thuộc khoảng

.

(Mode + 5 + 4).

+ Sử dụng chức năng Table (Mode + 7) với hàm số :

.

Start:
End :
Step : .
VD3. Cho phương trình

.Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình

1 có đúng một nghiệm trên khoảng

B. Phương trình

1 có đúng hai nghiệm trên khoảng

.

C. Phương trình

1 có đúng ba nghiệm trên khoảng

.

D. Phương trình
Đáp án : D.
Hướng dẫn giải

1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng

Cách 1: Xét hàm số
Ta có :

.

.

liên tục trên

.
.
Trang | 9

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Suy ra :

;

;

và

Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng
Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng

.
.

Cách 2: Sử dụng chức năng Table trên MTCT:
, End: , Step:

Start:

ta được kết quả như sau:

f x 
Quan sát kết quả ta thấy giá trị của
tại các điểm trong khoảng
đổi
dấu 4 lần. Mà phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực. Vậy phương trình

1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng

. Do đó D là đáp án đúng.
Cách 3: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ
của phương trình trong khoảng
. Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi
hơn cách sử dụng chức năng Table như trên.
VD4. Cho phương trình
trong đó
thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
1 vô nghiệm với mọi a, b, c .
A. Phương trình
1 có ít nhất một nghiệm với mọi
B. Phương trình
.
1 có ít nhất hai nghiệm với mọi
C. Phương trình
.
1 có ít nhất ba nghiệm với mọi
D. Phương trình
.
Đáp án : B.
Hướng dẫn giải.

là các tham số

Trang | 10

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Cách 1: Dễ thấy
thì phương trình
Vậy A, C, D sai. Do đó B đúng.
Cách 2 :
Đặt

Ta có:

+
cho

mà

một nghiệm trên khoảng

xét, tổng hợp

sao

với mọi a, b, c nên tồn tại một giá trị

sao

.

Vậy

Đánh giá, nhận

với mọi a, b, c nên tồn tại một giá trị
.

+
cho

1 trở thành

liên tục trên  nên suy ra

có ít nhất

. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức
Phương trình đa thức bậc lẻ trong đó hệ số bậc cao nhất khác

luôn có ít nhất

một nghiệm.

3. Hoạt động 3: Luyện tập
a) Mục tiêu:
- Củng cố kiến thức đồng thời hình thành cho học sinh kĩ năng xét tính liên tục của hàm số tại một điểm,
trên một khoảng.
b) Nội dung:
- HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 5.14 ; 5.15(a,b); 5.16 (SGK)
c) Sản phẩm:
Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1 (bài tập 5.14 ; 5.15(a,b); 5.16)
HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ
HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn
đề
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận
và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.
Trang | 11

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo
Bài 5.14.
Do

và

là các hàm số liên tục tại

. Mà

và

nên

nên

Bài 5.15.
a) Tập xác định:

. Do

b) Tập xác định:
Tại

. Hàm số

là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên D.
liên tục trên các khoảng

ta có

và

,

Vậy hàm số gián đoạn tại
Bài 5.16. Tập xác định:

liên tục trên các khoảng
thì nó phải liên tục tại

,
Vậy để hàm số liên tục tại

,

.

. Hàm số

Để hàm số đã cho liên tục trên

.

và

.

. Ta có

,
thì

.

4. Hoạt động 4: Vận dụng
a) Mục tiêu:
-  HS ứng dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình và hàm số liên tục trên một khoảng để
giải quyết một số bài toán trong thực tế.
b) Nội dung:
- HS vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết nhiệm vụ
c) Sản phẩm:
Câu trả lời của HS về bài toán mở đầu và kết quả thực hiện bài tập 5.17
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2
HS: Nhận nhiệm vụ

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ
HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận
Đánh giá, nhận

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm.
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn
đề.
GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận
Trang | 12

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.
- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

xét, tổng hợp

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư
duy.
Bài Vận dụng SGK – tr.
Xét hàm số
TXĐ:

với là hàm biểu thị vận tốc tại thời điểm t.
nên hàm số liên tục trên

Tại thời điểm xuất phát
với vận tốc

. Theo giả thiết ta có vận tốc trung bình của xe là

vận tốc của xe là

. Rõ ràng hàm

. Do đó có một thời điểm
liên tục trên đoạn

nên tồn tại thời điểm

sao cho

.

nào đó xe chuyển động
và

;

. Khi đó ta có

Bài 5.17.
a) Kí hiệu

là số tiền phải trả theo quãng đường di chuyển (tính theo km). Ta thấy:

+) Với

,

+) Với
+) Với
b) Hàm số liên tục trên nửa khoảng
CÂU HỎI KIỂM TRA/ĐÁNH GIÁ THEO MỨC ĐỘ
1

Câu 1.

Nhận biết

[MĐ1] Tìm giá trị thực của tham số
A.

B.

để hàm số
C.

liên tục tại
D.

Lời giải
Chọn D
Tập xác định:

, chứa

. Theo giả thiết thì ta phải có

Trang | 13

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Câu 2.

[MĐ1] Tìm giá trị thực của tham số
tại
A.
B.

để hàm số

liên tục

C.

D.

Lời giải
Chọn A
Hàm số xác định với mọi

Câu 3.

. Theo giả thiết ta phải có

[MĐ1] Tìm giá trị thực của tham số

A.

để hàm số

B.

liên tục tại

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Hàm số

có TXĐ:

Ta có:

Câu 4.

[MĐ1] Biết rằng hàm số
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

B.

liên tục tại
C.

(với

là tham số).

D.

Lời giải
Chọn B
Hàm số

có tập xác định là

Theo giả thiết ta có

Trang | 14

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Câu 5.

[MĐ1] Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
để hàm số
tục trên ?
A. 2.
B. 1.
C. 0.

liên
D. 3.

Lời giải
Chọn A
TXĐ:

. Hàm số liên tục trên mỗi khoảng

Khi đó

liên tục trên

;

.

liên tục tại

Ta có

2

Câu 6.

Thông hiểu

[MĐ2] Hàm số

liên tục tại:

A. mọi điểm trừ

B. mọi điểm

C. mọi điểm trừ

D. mọi điểm trừ
Lời giải

Chọn B
Hàm số

có TXĐ:

Dễ thấy hàm số
(i) Xét tại

hàm số

.

liên tục trên mỗi khoảng

và

.

, ta có

liên tục tại

.
Trang | 15

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

(ii) Xét tại

, ta có

hàm số

liên tục tại

.

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm

Câu 7.

[MĐ2] Số điểm gián đoạn của hàm số
A.

B.

là:
C.

D.

Lời giải
Chọn B
Hàm số

có TXĐ

Hàm số

liên tục trên mỗi khoảng

(i) Xét tại
tại

Câu 8.

và

Hàm số liên tục

.

, ta có
gián đoạn tại

.

[MĐ2] Biết rằng hàm số
đúng?
A.

,

, ta có

(ii) Xét tại
Hàm số

.

B.

tục trên
C.

Khẳng định nào sau đây
D.

Lời giải
Chọn A

Trang | 16

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Dễ thấy

liên tục trên mỗi khoảng

và

khi và chỉ khi hàm số liên tục tại

. Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
.

Tức là ta cần có

Khi đó

Câu 9.

trở thành

[MĐ2] Có bao nhiêu giá trị của tham số
A. 1.

B. 2.

để hàm số
C. 0.

liên tục trên
D. 3.

Lời giải
Chọn C
Hàm số

liên tục trên

khi nó liê tục tại

và

Khi đó hàm số đã cho liên tục trên

tức là ta cần có

Ta có
mọi

không thỏa mãn với
Vậy không tồn tại giá trị

thỏa yêu cầu.

Câu 10. [MĐ2] Xét tính liên tục của hàm số
đúng?
A.

khi và chỉ

không liên tục trên

Khẳng định nào dưới đây
B.

không liên tục trên
Trang | 17

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

C.

gián đoạn tại

D.

liên tục trên

Lời giải
Chọn D

Ta có
Vậy hàm số

liên tục tại
liên tục trên

3
Câu 11. [MĐ3] Cho hàm số
A.

Vận dụng
. Số nghiệm của phương trình
C.

B.

trên

là:

D.

Lời giải
Chọn D
Hàm số

là hàm đa thức có tập xác định là

nên liên tục trên

. Do đó hàm

số liên tục trên mỗi khoảng
Ta có

có ít nhất một nghiệm thuộc

có ít nhất một nghiệm thuộc

có ít nhất một nghiệm thuộc
Như vậy phương trình
có ít nhất ba thuộc khoảng
là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.
Vậy phương trình
Câu 12. [MĐ3] Cho hàm số

. Tuy nhiên phương trình

có đúng ba nghiệm trên
liên tục trên đoạn

về số nghiệm của phương trình
A. Vô nghiệm.
C. Có đúng một nghiệm.

sao cho

,

. Có thể nói gì

trên đoạn
:
B. Có ít nhất một nghiệm.
D. Có đúng hai nghiệm.
Trang | 18

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Lời giải
Chọn B
Ta có

. Đặt

Vậy phương trình

Khi đó

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
4

.
Vận dụng cao

Câu 13. [MĐ4] Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
trình
A.

hay phương trình

thuộc khoảng

có ba nghiệm phân biệt
C.

B.

để phương

thỏa mãn
D.

?

Lời giải
Chọn C
Xét hàm số

liên tục trên

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt

.
sao cho

. Khi đó

.
Ta có

(do

Mà

).

nên suy ra

Thử lại: Với

, ta có
nên tồn tại

Do

nên

sao cho

.

.

.
nên tồn tại
Từ

và

sao cho

.

, suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng

phương trình có nghiệm thuộc khoảng

; Từ

và

; Từ

và

, suy ra

, suy ra phương trình có nghiệm

thuộc khoảng
Trang | 19

KẾ HOẠCH BÀI DẠY 2025-2026

Vậy khi

thỏa mãn

Trang | 20