THẦY NGUYỄN BỈNH KHÔI

1

PHÂN DẠNG &
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TÀI LIỆU HỌC TẬP - THEO SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

TOÁN
TOÁN
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38

54

55

56

59 60 1 2
57 58
3

11

12

4

5

1

6

7
8

KHOI-MATH

10

9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

2

9

3

8
37

4
36

7
35

34

6

33 32
27
31 30 29 28

5
26

25

24

23

University
KHOI-MATH
0909461641

KN
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

TẬP 2

8

MỤC LỤC

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

MỤC LỤC

Chương 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1

Bài 21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Hai phân thức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Dạng 1. Nhận biết phân thức, xác định tử thức và mẫu thức

.....................................................

Dạng 2. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến
Dạng 3. Hai phân thức bằng nhau

1

.....................

3

..........................................................................................

4

Dạng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dạng 5. Vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Bài 22. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1. Tính chất cơ bản của phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Rút gọn phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Quy đồng mẫu nhiều phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Dạng 1. Rút gọn phân thức

.................................................................................................

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức

15

...........................................................................................

16

.............................................................................................

17

Dạng 4. Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến
Dạng 5. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

..............................................

18

.......................................................................

19

Dạng 6. Quy đồng mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Dạng 7. Vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bài 23. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Cộng hai phân thức khác mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Trừ hai phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Dạng 1. Cộng, trừ các phân thức cùng mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Dạng 2. Cộng, trừ các phân thức không cùng mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

i

MỤC LỤC

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

Dạng
Dạng
Dạng
Dạng

3.
4.
5.
6.

Tìm x thõa mãn đẳng thức cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Rút gọn và tính giá trị biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến. Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . 36
Vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Bài 24. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1. Phép nhân các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2. Phân thức nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. Phép chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng

1.
2.
3.
4.
5.

Thực hiện phép nhân, phép chia các phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Rút gọn biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

C Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
LUYỆN TẬP CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng

1.
2.
3.
4.

Tìm điều kiện của biến để phân thức xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tìm giá trị của x để phân thức bằng 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Rút gọn biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
ÔN TẬP CHƯƠNG VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B Bài tập bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

i/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

1

Chương 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

Chûúng

6

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Baâi
AA
1

21

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

Phân thức đại số

A
, trong đó A, B là những đa thức và
B
B khác đa thức 0, A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là biểu thức có dạng

Nhận xét. Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng là
phân thức đại số.

2

Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức

A
C
và
gọi là bằng nhau nếu A · D = B · C.
B
D
C
A
=
nếu A · D = B · C.
B
D

3

Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (sao cho phân thức xác định), rồi thực hiện các
phép tính thì ta nhận được giá trị của phân thức đại số đó tại các giá trị của biến.
Như vậy, để tính giá trị của phân thức tại những giá trị cho trước của biến ta thay các giá trị cho trước của
biến vào phân thức đó rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.
Điều kiện xác định của phân thức

A
là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.
B

Ta chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định khi tính giá trị của phân thức.
Khi xét phân thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu các biến chỉ nhận các giá trị làm cho phân thức xác
định.

BA

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận biết phân thức, xác định tử thức và mẫu thức

1/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

2

21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

c Ví dụ 1. Chỉ ra các phân thức trong các biểu thức sau đây
2x + 1
;
x−3

ab
;
a+b

2

x + 2x + 1;

√

√

x
.
x+1

5;

Lời giải.

√
2x + 1 ab
Trong các biểu thức trên,
;
; x2 + 2x + 1; 5 là phân thức.
x−3 a+b
√
√
x
không phải là phân thức, vì x không phải là đa thức.
Biểu thức
x+1

□

c Ví dụ 2.
a) Cách viết nào sau đây không cho một phân thức?
6y 3 z xy + z y + z
0
;
;
;
; x3 − xy.
2
x
−3
0
x+1
b) Viết mẫu thức của mỗi phân thức trong các cách viết trên.

Lời giải.
a) Trong các cách viết trên,
b) Các phân thức

y+z
không phải là phân thức
0

6y 3 z xy + z
0
;
;
; x3 − xy có mẫu lần lượt là x2 ; −3; x + 1; 1.
2
x
−3 x + 1
□

c Ví dụ 3. Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có cùng mẫu thức?
a)

4x3
−20x
và
;
3y 2
5y 2

b)

5x − 10
5x − 10
và 2
;
x2 + 1
x −1

c)

5x + 10
4 − 2x
và
.
4x − 8
4(x − 2)

Lời giải.
Cặp phân thức có cùng mẫu thức là

5x + 10
4 − 2x
và
.
4x − 8
4(x − 2)

□

c Ví dụ 4. Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?
2x + 1
a)
.
x+4

xy
b)
.
x + 2y

1
c) 2 x .
x +1

d)

x2 y + xy 2
.
x−y

e)

x2 − 2
.
1
x

Lời giải.
a) Do 2x + 1 và x + 4 là các đa thức và đa thức x + 4 khác đa thức 0 nên biểu thức
b) Do xy và x + 2y là các đa thức và đa thức x + 2y khác đa thức 0 nên biểu thức

2x + 1
là phân thức.
x+4

xy
là phân thức.
x + 2y

1
1
không phải là phân thức.
c) Do biểu thức không phải là đa thức nên biểu thức 2 x
x
x +1
d) Do x2 y + xy 2 và x − y là các đa thức và đa thức x − y khác đa thức 0 nên biểu thức
2/101

x2 y + xy 2
là phân thức.
x−y

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

3

Chương 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

e) Do biểu thức

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

1
x2 − 2
không phải là đa thức nên biểu thức
không phải là phân thức.
1
x
x
□

Dạng 2. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

c Ví dụ 5. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau
a)

3x + 4
;
x−2

b)

x−y
;
x+y

c)

x−3
;
x+2

d)

1
;
2a + 4

e)

xy 2
.
x − 2y

Lời giải.
a) Phân thức xác định khi x − 2 ̸= 0 hay x ̸= 2.
b) Phân thức xác định khi x + y ̸= 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thoả mãn x + y ̸= 0).
c) Điều kiện xác định của phân thức là x + 2 ̸= 0 hay x ̸= −2.
d) Điều kiện xác định của phân thức

1
là 2a + 4 ̸= 0 hay a ̸= −2.
2a + 4

e) Điều kiện xác định của phân thức

xy 2
là x − 2y ̸= 0 hay x ̸= 2y.
x − 2y
□

c Ví dụ 6. Viết điều kiện xác định của phân thức

x+1
và tính giá trị của phân thức tại x = 2.
x−1

Lời giải.
Điều kiện xác định của phân thức là x − 1 ̸= 0 hay x ̸= 1.
2+1
Giá trị của phân thức tại x = 2 là
= 3.
2−1
c Ví dụ 7. Tính giá trị của phân thức

□

x2 − x − 1
tại x = 2; x = 1.
x2 + 3x

Lời giải.
○ Tại x = 2, phân thức có giá trị là

1
22 − 2 − 1
= .
2
2 +3·2
10

○ Tại x = 1, phân thức có giá trị là

12 − 2 − 1
−1
=
.
2
1 +3·1
4
□

c Ví dụ 8. Cho phân thức P =

x2 − 1
.
2x + 1

a) Tính giá trị của phân thức tại x = 0; x = 1; x = 2.
b) Tại x = −

1
thì phân thức có xác định không? Tại sao?
2

Lời giải.
3/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

4

21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

0−1
= −1.
2·0+1
2
1 −1
Tại x = 1, P =
= 0.
2·1+1
3
22 − 1
= .
Tại x = 2, P =
2·2+1
5

a) Tại x = 0, P =

Å ã
1
1
+ 1 = −1 + 1 = 0 nên phân thức không xác định.
b) Với x = − thì giá trị của mẫu thức là 2 · −
2
2
□
c Ví dụ 9. Tìm giá trị của phân thức
a)

x2 − 2x + 1
tại x = −3, x = 1;
x+2

b)

xy − 3y 2
tại x = 3, y = −1.
x+y

Lời giải.
a) Với x = −3, ta có
(−3)2 − 2(−3) + 1
9+6+1
16
=
=
= −16.
−3 + 2
−1
−1
Với x = 1, ta có
0
12 − 2 · 1 + 1
= = 0.
1+2
3
b) Với x = 3, y = −1, ta có
3 · −1 − 3 · (−1)2
3 · −1 − 3 · 1
−3 − 3
−6
=
=
=
= −3.
3 + −1
2
2
2
□
Dạng 3. Hai phân thức bằng nhau

c Ví dụ 10. Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?
a)

xy 2
xy
và
;
xy + y
x+1

b)

xy − y
xy − x
và
;
x
y

c) A =

3x2 − 9x
3x
và B =
;
2
x −9
x+3

d)

x2 − x
x
và
;
5
5x − 5

e)

3+x
1
và ;
3 + 2x
2

f)

x+y
1
và
;
2
2
x −y
x−y

g)

x
1
và
;
x2 − 1
x−1

h)

1
1−x
=
;
x2 + x + 1
1 − x3

i)

1+x
1
=
.
1 − x2
1−x

Lời giải.
® 2
(xy ) · (x + 1) = x2 y 2 + xy 2
a) Ta có
(xy + y) · xy = x2 y 2 + xy 2 .
Do đó (xy 2 ) · (x + 1) = (xy + y) · xy.
xy 2
xy
Vậy
=
;
xy + y
x+1
®
(xy − y) · y = xy 2 − y 2
b) Ta có
.
x · (xy − x) = x2 y − x2 .
Do đó (xy − y) · y ̸= x · (xy − x).
xy − y
xy − x
Vậy hai phân thức
và
không bằng nhau.
x
y
4/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

5

Chương 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC



3x2 − 9x · (x + 3) = 3x3 + 9x2 − 9x2 − 27x = 3x3 − 27x
c) Ta có


x2 − 9 · 3x = 3x3 − 27x.




Vậy 3x2 − 9x · (x + 3) = x2 − 9 · 3x.
3x2 − 9x
3x
Do đó
=
, hay A = B.
2
x −9
x+3




d) Ta có: x · (5x − 5) = 5x2 − 5x và 5 · x2 − x = 5x2 − 5x nên x · (5x − 5) = 5 · x2 − x .
x
x2 − x
Vậy =
.
5
5x − 5
®

e) Ta có: (3 + x) · 2 = 6 + 2x và (3 + 2x) · 1 = 3 + 2x. Do 6 + 2x ̸= 3 + 2x nên hai phân thức

3+x
1
và không
3 + 2x
2

bằng nhau.


f) Ta có: (x + y) · (x − y) = x2 − y 2 và x2 − y 2 · 1 = x2 − y 2


1
x+y
=
nên (x + y) · (x − y) = x2 − y 2 · 1. Vậy 2
.
2
x −y
x−y


g) Ta có: x · (x − 1) = x2 − 1 và x2 − 1 · 1 = x2 − 1


x
1
nên x · (x − 1) = x2 − 1 · 1. Vậy 2
=
.
x −1
x−1
h) Ta có

x2

1−x
1
=
vì 1 · (1 − x3 ) = (1 − x)(x2 + x + 1).
+x+1
1 − x3

i) Vì (1 + x)(1 − x) = (1 − x2 ) · 1 nên

1+x
1
=
.
2
1−x
1−x
□

c Ví dụ 11. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng tỏ rằng:
a)

3y
6xy
=
;
4
8x

b)

x+y
3x(x + y)2
= 2
;
3x
9x (x + y)

c)

x+1
x2 + 4x + 3
= 2
.
x+3
x + 6x + 9

Lời giải.
a) Ta có 3y · 8x = 4 · 6xy nên

3y
6xy
=
.
4
8x

b) Ta có (x + y) · 9x2 (x + y) = 3x · 3x(x + y)2 nên

x+y
3x(x + y)2
= 2
.
3x
9x (x + y)

c) Ta có


(x + 1) x2 + 6x + 9 = (x + 1)(x + 3)2 .


(x + 3) · x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 3)(x + 1) = (x + 1)(x + 3)2 .




Do đó (x + 1) x2 + 6x + 9 = (x + 3) · x2 + 4x + 3 .
x+1
x2 + 4x + 3
Suy ra
= 2
.
x+3
x + 6x + 9
□
c Ví dụ 12. Chứng minh đẳng thức
x−2
8 − x3
=
.
−x
x (x2 + 2x + 4)

Lời giải.
5/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

6

21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

Ta có x2 + 2x + 4 = x2 + 2x + 1 + 3 = (x + 1)2 + 3 > 0 nên


(x − 2) · x2 + 2x + 4
x−2
x3 − 8
8 − x3
=
=
=
.
−x
−x · (x2 + 2x + 4)
−x (x2 + 2x + 4)
x (x2 + 2x + 4)
Vế trái bằng vế phải. Đẳng thức đã được chứng minh.

□

c Ví dụ 13. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong đẳng thức
x2

A
x
=
−4
x+2

Lời giải.
Ta có


(x + 2) = x · x2 − 4
A · (x + 2) = x · (x − 2) · (x + 2).
Suy ra A = x · (x − 2).

□

c Ví dụ 14. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong đẳng
thức
...
(x + 1)2
=
.
x2 + x
x

Lời giải.
(x + 1)2
(x + 1)2
(x + 1)2 : (x + 1)
x+1
Ta có 2
=
=
=
.
x +x
x(x + 1)
x(x + 1) : (x + 1)
x
Vậy đa thức cần tìm là x + 1.

□

Dạng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của phân thức
○ Với a > 0 (a là hằng số)
P (x) = m + a[F (x)]2 ≥ m; giá trị nhỏ nhất của P (x) bằng m khi F (x) = 0.
P (x) = m − a[F (x)]2 ≤ m; giá trị lớn nhất của P (x) bằng m khi F (x) = 0.
○ Với a > 0 (a là hằng số), P (x) > 0 thì

a
nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi P (x) lớn nhất (hoặc nhỏ
P (x)

nhất).

c Ví dụ 15.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức A =

x2 + 2x + 3
.
4

b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức B =

4 − 4x2 + 4x
.
5

Lời giải.
x2 + 2x + 3
có giá trị nhỏ nhất ⇔ x2 + 2x + 3 có giá trị nhỏ nhất.
4
Mà x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2, nên giá trị nhỏ nhất của x2 + 2x + 3 là 2 khi x = −1.
2
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của phân thức A là = , đạt được khi x = −1.
4
2

a) A =

b) B =
6/101

4 − 4x2 + 4x
có giá trị lớn nhất ⇔ 4 − 4x2 + 4x có giá trị lớn nhất.
5
Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

7

Chương 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

1
Mà 4 − 4x2 + 4x = 5 − (2x − 1)2 ≤ 5 nên giá trị lớn nhất của 4 − 4x2 + 4x là 5 khi x = .
2
5
1
Vậy giá trị lớn nhất của B là = 1, đạt được khi x = .
5
2
□
c Ví dụ 16. Tìm giá trị lớn nhất của P =

x2

10
.
− 2x + 2

Lời giải.
Tử thức 10 > 0 và mẫu thức x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1 > 0 nên P lớn nhất ⇔ x2 − 2x + 2 nhỏ nhất.
Mà x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1 ≥ 1, nên giá trị nhỏ nhất của x2 − 2x + 2 là 1 khi x = 1.
10
Vậy giá trị lớn nhất của P là
= 10, đạt được khi x = 1.
1

□

Dạng 5. Vận dụng

c Ví dụ 17. Cho hình chữ nhật ABCD và M N P Q như hình vẽ (các số đo trên hình tính theo đơn vị
centimét).
A

B
M

N

x

Q
D

x+1

x+1

P

x+3

C

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật M N P Q.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x = 5.

Lời giải.
a) Diện tích của hình chữ nhật ABCD là (x + 3) · (x + 1).
Diện tích của hình chữ nhật M N P Q là (x + 1) · x.
Do đó phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật M N P Q là

(x + 3) · (x + 1)
.
(x + 1) · x

b)
○ Với x = 2, phân thức trên có giá trị là

(2 + 3) · (2 + 1)
5
= .
(2 + 1) · 2
2

○ Với x = 5, phân thức trên có giá trị là

(5 + 3) · (5 + 1)
8
= .
(5 + 1) · 5
5
□

c Ví dụ 18. Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức
0,0002x2 + 120x + 1000
C(x) =
, trong đó x là số áo được sản xuất và C tính bằng nghìn đồng. Tính C khi
x
x = 100, x = 1000.

Lời giải.
7/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

8

21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

• Khi x = 100, giá thành trung bình mỗi áo sẽ là
C(100) =

0,0002 · 1002 + 120 · 100 + 1000
2 + 12000 + 1000
13002
=
=
= 130,02.
100
100
100

Vậy giá thành trung bình mỗi áo là 130,02 nghìn đồng.
• Khi x = 1000, giá thành trung bình mỗi áo sẽ là
C(1000) =

200 + 120000 + 1000
121200
0,0002 · 10002 + 120 · 1000 + 1000
=
=
= 121,2.
1000
1000
1000

Vậy giá thành trung bình mỗi áo là 121,2 nghìn đồng.
□
c Ví dụ 19. Chị Hà mở một xưởng thủ công với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc,...)
là 80 triệu. Biết chi phí để sản xuất (tiền mua vật liệu, lương nhân công) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng.
Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được.
a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.
b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.
c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1
sản phẩm nếu x ngày càng tăng.

Lời giải.
Đổi 80 triệu = 80 000 (nghìn đồng).
a) Phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là 80 000 + 15 · x
(nghìn đồng).
b) Phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x là

80 000 + 15 · x
(nghìn
x

đồng).
c)
○ Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100 là
80 000 + 15 · 100
= 815 (nghìn đồng).
100
○ Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1 000 là
80 000 + 15 · 1000
= 95 (nghìn đồng).
1000
Vậy chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm sẽ ngày càng giảm nếu x ngày càng tăng.
□

CA

BÀI TẬP VẬN DỤNG

c Bài 1. Viết tử thức và mẫu thức của phân thức

5x − 2
.
3

Lời giải.
○ Tử thức là 5x − 2.

○ Mẫu thức là 3.
□

8/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

9

Chương 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

c Bài 2. Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau?
a)

4x
−20x
và 2 ;
3y 2
5y

Lời giải.
Phân thức có mẫu giống nhau là

b)

3x − 1
3x − 1
và
;
x2 + 1
x+1

c)

x−1
x+1
và
.
3x + 6
3(x + 2)

x−1
x+1
và
.
3x + 6
3(x + 2)

□

c Bài 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?
3x + 1
;
2x − 1

2x2 − 5x + 3;

√
x+ x
.
3x + 2

Lời giải.
3x + 1
; 2x2 − 5x + 3 là các phân thức.
2x −√1
√
x+ x
không phải là phân thức vì x + x không phải là một đa thức.
3x + 2
c Bài 4. Cho A là một đa thức khác 0 tùy ý. Hãy giả thích vì sao

□

0
A
= 0 và
= 1.
A
A

Lời giải.
○ Ta có

0
= 0 vì 0 = 0 · A.
A

○ Ta có

A
= 1 vì A = 1 · A.
A
□

c Bài 5. Viết điều kiện xác định của các phân thức sau
a)

4x − 1
;
2x − 6

b)

d)

y
;
3y + 3

e)

x − 10
;
x + 3y
x2

c) 3x2 − x + 7;

4x
;
+ 16

f)

x+y
.
x−y

Lời giải.
a) Phân thức xác định khi 2x − 6 ̸= 0 hay x ̸= 3.
b) Phân thức xác định khi x + 3y ̸= 0 hay x ̸= −3y.
c) Phân thức 3x2 − x + 7 là một đa thức nên xác định với mọi x.
y
d) Điều kiện để giá trị của phân thức
được xác định là 3y + 3 ̸= 0.
3y + 3
4x
được xác định là x2 + 16 ̸= 0.
+ 16
x+y
f) Điều kiện để giá trị của phân thức
được xác định là x − y ̸= 0.
x−y

e) Điều kiện để giá trị của phân thức

x2

□
c Bài 6. Viết điều kiện xác định của phân thức
x = 0; x = 1; x = 2.

x2 + x − 2
. Tính giá trị của phân thức trên lần lượt tại
x3 + 2

Lời giải.
Điều kiện xác định của phân thức
9/101

x2 + x − 2
là x3 + 2 ̸= 0.
x3 + 2
Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

10

21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

○ Giá trị của phân thức tại x = 0 là

02 + 0 − 2
= −1.
03 + 2

○ Giá trị của phân thức tại x = 1 là

12 + 1 − 2
= 0.
13 + 2

○ Giá trị của phân thức tại x = 2 là

2
22 + 2 − 2
= .
23 + 2
5
□

c Bài 7. Tìm giá trị của phân thức
a) A =

3x2 + 3x
tại x = −4;
x2 + 2x + 1

b) B =

ab − b2
tại a = 4, b = −2.
a2 − b2

Lời giải.
a) Với x = −4 ta có
A=

3(−4)2 + 3(−4)
3 · 16 − 12
36
=
=
= 4.
2
(−4) + 2(−4) + 1
16 − 8 + 1
9

b) Với a = 4 và b = −2 ta có
B=

−8 − 4
−12
4 · (−2) − (−2)2
=
=
= −1.
2
2
4 − (−2)
16 − 4
12
□

c Bài 8. Vì sao các kết luận sau đây đúng?
a)

−6
3y
= 2;
−4y
2y

b)

x+3
x2 + 3x
=
;
5
5x

c)

3x(4x + 1)
−3x
=
.
2
16x − 1
1 − 4x

Lời giải.
a) Ta có

−6
3y
= 2 vì −6 · 2y 2 = 3y · (−4y).
−4y
2y

b) Ta có

x2 + 3x
x+3
=
vì (x + 3) · 5x = (x2 + 3x) · 5.
5
5x

c) Ta có

3x(4x + 1)
−3x
=
vì 3x(4x + 1) · (1 − 4x) = (−3x) · (16x2 − 1).
16x2 − 1
1 − 4x
□

c Bài 9. Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?
a)

6c
3ac
và 2 ;
3
a b
2a b

b)

3ab − 3b2
a−b
và
.
2
6b
2b

Lời giải.
a) Ta có 3ac · 2a2 b = 6a3 bc và a3 b · 6c = 6a3 bc.
Do đó 3ac · 2a2 b = a3 b · 6c.
6c
3ac
Vậy 3 = 2 .
a b
2a b
b) (3ab − 3b2 ) · 2b = 6ab2 − 6b3 và (a − b) · 6b2 = 6ab2 − 6b3 .
Do đó (3ab − 3b2 ) · 2b = (a − b) · 6b2 .
3ab − 3b2
a−b
Vậy
=
.
2
6b
2b
□
10/101

Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

11

Chương 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

SÁCH TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC

c Bài 10. Tìm đa thức thích hợp thay vào

a)

?

trong các đẳng thức sau

?
2x + 1
= 2
;
x−1
x −1

b)

?
x2 + 2x
= 2
.
3
x +8
x − 2x + 4

Lời giải.
2x + 1
(2x + 1) · (x + 1)
2x2 + 3x + 1
=
=
.
x−1
(x − 1) · (x + 1)
x2 − 1
? là 2x2 + 3x + 1.

a) Ta có
Vậy

x2 + 2x
x(x + 2)
x
=
= 2
.
3
2
x +8
(x + 2)(x − 2x + 4)
x − 2x + 4
? là x.

b) Ta có
Vậy

□
c Bài 11. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a)

3x
15xy
=
;
2
10y

b)

3x − 3y
−3
=
;
2y − 2x
2

c)

x2 − x + 1
x3 + 1
=
.
x
x · (x + 1)

Lời giải.
a) Ta có: 3x · 10y = 30xy và 2 · 15xy = 30xy nên 3x · 10y = 2 · 15xy. Vậy

3x
15xy
=
.
2
10y

b) Ta có: (3x − 3y) · 2 = 6x − 6y và (2y − 2x) · (−3) = 6x − 6y
−3
3x − 3y
=
.
nên (3x − 3y) · 2 = (2y − 2x) · (−3). Vậy
2y − 2x
2




x2 − x + 1
x3 + 1
c) Ta có: x2 − x + 1 · x · (x + 1) = x · x3 + 1 nên
=
.
x
x · (x + 1)
□
c Bài 12.
a) Tìm đa thức A, cho biết
b) Tìm đa thức M , cho biết

A
x2 + 3x + 2
=
.
x−2
x2 − 4
M
x2 + 3x + 2
=
.
x−1
x+1

Lời giải.
Dùng định nghĩa, ta có
a) A = x + 1.

b) M = x2 + x − 2.
□

c Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức P , biết P =

x2

15
.
− 2x + 4

Lời giải.
15
15
15
=
≤
= 5.
2
− 2x + 4
(x − 1) + 3
3
Suy ra giá trị lớn nhất của P là 5 khi x = 1.
Ta có P =

11/101

x2

□
Thầy Nguyễn Bỉnh Khôi –

0909 461 641

12

21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
...