Tính đơn điệu của hàm số
I. Phần lý thuyết
1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên I gọi là
a. Đồng biến (tăng) trên I nếu với (x1; x2 ( I mà : x1 < x2 ( f(x1) < f(x2)
b. Nghịch biến(giảm) trên I nếu với (x1; x2 ( I mà : x1 < x2 ( f(x1) > f(x2)
2. Các chú ý
( Giải thích từ "đồng biến, nghịch biến"
( Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên I gọi là hàm số đơn điệu trên I .
( Đồ thị của hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng I (phát biểu thành lời) .
3. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định và có đạo hàm trên I
( Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f`(x) ( 0 (x ( I .
( Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì f`(x) ≤ 0 (x ( I .
4. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
a. Định lý 1
Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định và có đạo hàm trên I
( Nếu f`(x) > 0 với (x ( I thì hàm số f đồng biến trên I
( Nếu f`(x) < 0 với (x ( I thì hàm số f nghịch biến trên I
( Nếu f`(x) = 0 với (x ( I thì hàm số f không đổi trên I (hàm hằng trên I)
* Chú ý : Bảng biến thiên của hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng I ( phát biểu thành lời)
b. Định lý 2 (mở rộng của định lý 1)
Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định và có đạo hàm trên I
( Nếu f`(x) ( 0 với (x ( I và f`(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn trên I thì hàm số f đồng biến trên I .
( Nếu f`(x) ≤ 0 với (x ( I và f`(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn trên I thì hàm số f nghịch biến trên I .
* Chú ý
+ Hình ảnh trục số minh hoạ
+ Bài toán xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số là bài toán xác định các khoảng đơn điệu của hàm số .
II. Phần áp dụng
Bài toán 1 : Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số
1. Các bước xác định các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
( Bước 1 : Tìm tập xác định D
( Bước 2 : Tính đạo hàm y`
+ Giải phương trình y` = 0 tìm các nghiệm xi
+ Tìm các điểm xj làm cho ý không xác định .
( Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập xác định D
+ Dòng 1 (dòng biến x) : Điền TXĐ , các điểm xi ; xj theo thứ tự từ trái qua phải từ nhỏ đến lớn .
+ Dòng 2 (dòng y` hay f`(x)) : Tại các điểm xi là nghiệm của y` điền số 0 , tại các điểm xj làm cho y` không xác định ta đánh hai sổ dọc song song . Sau đó xét dấu y` và điền dấu vào các khoảng .
( Bước 4 : Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận