UBND HUYỆN ĐỨC HÒA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỨC HÒA
TRƯỜNG TH-THCS LỘC GIANG

NĂM HỌC 2024 – 2025
1

A. ĐẶT VẤN ĐỀ:

Như ta đã biết: Nâng cao chất lượng dạy và học luôn
là đòi hỏi cần thiết trong hoạt động dạy và học.Trong
giải toán việc tìm cách để nhớ cũng như sự liên hệ giữa
các kiến thức, tìm thấy sự quen thuộc cũng như sự mới
lạ trong các bài toán sẽ giúp chúng ta nắm vững hơn và
nhớ kỹ về kiến thức đó.
Việc nêu ra nhiều phương pháp giải cho một bài toán
nhằm kích thích khả năng tìm tòi, sáng tạo đối với
những học sinh giỏi, phát huy tính tích cực của học sinh
theo tinh thần giáo dục phổ thông 2018, là mục tiêu
quan trọng của giáo dục hiện đại.
Trong hoïc toaùn, vieäc giaûi toaùn vaø tìm theâm nhöõng
lôøi giaûi khaùc cuûa moät baøi toaùn nhieàu khi ñi ñeán nhöõng
ñieàu thuù vò. G-polya (1887-1985) nhaø toaùn hoïc vaø laø
nhaø sö phaïm nguôøi Myõ goác Hungary ñaõ khuyeân raèng:
“Ngay khi lôøi giaûi maø ta ñaõ tìm ñöôïc laø toát roài, thì tìm
ñöôïc moät lôøi giaûi khaùc vaãn coù lôïi. Thaät laø sung söôùng
khi thaáy raèng, keát quaû tìm ra ñöôïc xaùc nhaän nhôø hai lí
luaän khaùc nhau. Coù ñöïôc moät chöùng côù roài, chuùng ta
coøn muoán tìm theâm moät chöùng côù khác nöõa, cuõng nhö
chuùng ta muoán sôø vaøo moät vaät maø ta ñaõ troâng thaáy”.
Chính vì lẽ đó tôi mạnh dạn viết lên chuyên đề dành cho
học sinh giỏi . Chuyên đề được mang tên:
“ ĐẶC BIỆT HÓA TRONG GIẢI TOÁN ”

2

B. NỘI DUNG CHÍNH

* NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ: (PHẦN ĐẠI SỐ)
“ĐẶC BIỆT HÓA TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG
NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ”
Có nghĩa là ta dựa trên các cơ sở khoa học khác nhau như vận dụng
khái niệm; định nghĩa; định lý; tính chất; bất đẳng thức;…và qua quá trình
biến đổi để dẫn đến điều cuối cùng mà ta cần chứng minh.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA SỬ DỤNG “ ĐẶC BIỆT HÓA TRONG GIẢI TOÁN ”

Ví dụ 1:
Cho a; b; c thoûa maõn a> c; b > c > 0.
Chöùng minh raèng:

c(a  c)  c(b  c)  ab
Có 5 cách giải : ( Mỗi cách giải là 1 lần Đặc Biệt Hóa)
Caùch 1: (duøng giaû thieát taïm).
Caùch 2: Söû duïng baát ñaúng thöùc phuï.
Caùch 3: AÙp duïng baát ñaúng thöùc giữa TBC và TBN.
Caùch 4: Ñaët aån phuï.
Caùch 5: Duøng phöông phaùp hình hoïc.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức A =
Có 4 cách giải:
Cách 1: Áp dụng BĐT giữa TBC và TBN của hai số không âm.
Cách 2: Sử dụng BĐT phụ.
Cách 3: Dùng hằng đẳng thức.
Cách 4: Áp dụng BĐT giữa TBC và TBN của hai số không âm khác.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức:
n dấu căn

Có 2 cách giải:
Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp toán học.
Cách 2: Dùng phương pháp so sánh.

* NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : (PHẦN HÌNH HỌC)
Đặc biệt hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp, đối tượng sang một
tập hợp, đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Tùy theo đối tượng và
mức độ kiến thức cần tìm hiểu để đưa yêu cầu “ Đặc biệt hóa ” cho phù hợp .
I – Sử dụng đặc biệt hóa trong việc hình thành khái niệm mới.
II – Sử dụng đặc biệt hóa để tạo ra các bài toán mới.
III – Sử dụng đặc biệt hóa để giải toán và mỗi bài toán hình học được giải
bằng nhiều cách khác nhau.
3

CỤ THỂ NHƯ SAU:
I – SỬ DỤNG ĐẶC BIỆT HOÁ TRONG VIỆC HÌNH THÀNH KHÁI
NIỆM MỚI.
Sử dụng đặc biệt hoá trong việc hình thành khái niệm mới được thể hiện rõ
trong chương tứ giác – sách toán 8 phần hình học tập 1 SGK chương trình mới.
Từ định nghĩa tứ giác bằng cách đặc biệt hóa về cạnh, về góc ta được hình
thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Có thể đặc biệt hoá
để hình thành khái niệm mới theo các hướng nhìn như sau:
Cách 1 : Từ khái niệm ban đầu, thông qua đặc biệt hóa cho ta khái niệm
mới .

KHAÙI
NIEÄM
BAN
ÑAÀU

ÑAËC BIEÄT HOÙA

KHAÙI
NIEÄM
M ÔÙI

Như vậy ta có : Khái niệm mới gồm khái niệm ban đầu và dấu hiệu đặc biệt hóa
Ví dụ :
TÖÙ GIAÙC

Hai caïnh //

HÌNH THANG

HÌNH BÌNH HAØN H

Hai caëp caïnh //

4 goùc vuoâng

HÌNH CHÖÕ NHAÄT

4 caïn h baèng nhau

HÌNH THOI

Từ sơ đồ nêu trên học sinh dễ dàng hình thành khái niệm mới.
4

4 caïn h baèng nhau
vaø 4 goùc vuoân g

HÌNH VUOÂN G

Ví dụ: + Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song
+ Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh song song
+ Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông
+ Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
+ Hình vuông là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông
Việc hình thành khái niệm theo hướng nhìn này có hiệu ứng tích cực trong việc
tiếp nhận kiến thức của học sinh, bản thân các em tự đưa cách thức đặc biệt hóa
và phát biểu khái niệm theo cách riêng của mình.
Cách 2 : Từ khái niệm ban đầu, thông qua đặc biệt hóa cho ta khái niệm
mới, từ khái niệm mới tiếp tục đặc biệt hóa cho ta khái niệm tiếp theo.

KHAÙI
NIEÄM
BAN
ÑAÀU

KHAÙI
NIEÄM
MÔÙI

ÑAËC BIEÄT HOÙA

KHAÙI
NIEÄM
MÔÙI

ÑAËC BIEÄT HOÙA

Như vậy ta có: Khái niệm mới gồm khái niệm ban đầu và dấu hiệu đặc biệt hóa,
tiếp tục sử dụng khái niệm mới làm khái niệm ban đầu và quá trình đặc biệt hóa
lại tiếp tục…
Ví dụ: Từ khái niệm tứ giác có thể đặc biệt hóa để hình thành khái niệm mới
theo các con đường sau đây:
TÖÙ GIAÙC

Hai caëp caïnh //

Hai caïnh //

HÌNH THANG

HÌNH BÌNH HAØNH

1goùc vuoân g

Hai goùc keà 1 ñaùy baèn g nha u

2 caïn h keà ba èng nha u
HÌNH THOI

HÌNH CHÖÕ NHAÄT

HÌNH THANG
CAÂN

1goùc vuoân g

2 caïn h keà ba èng nha u
HÌNH VUOÂNG

5

Từ sơ đồ nêu trên học sinh hình thành khái niệm mới theo quá trình sau : Hình
bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh song song
Hình chữ nhật là hình bình
hành có 1 góc vuông
Hình vuông là hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
Việc hình thành khái niệm theo hướng nhìn này kích thích sự tìm tòi, khám phá
của học sinh đồng thời các em phát hiện mối quan hệ giữa các đối tượng trong
quá trình hình thành khái niệm.
Ví dụ:

TAM GIAÙC
coù 3 goùc nhoïn

TAM GIAÙC
NHOÏN

coù 1 goùc tuø

TAM GIAÙC
TUØ

coù 2 caïn h baèn g nhau
coù 3 caïn h baèn g nhau

coù 1 goùc vuoân g

TAM GIAÙC
VUOÂNG

TAM GIAÙC
CAÂN

TAM GIAÙC
ÑEÀU

coù 2 caïn h goùc vuoâng
baèn g mhau
TAM GIAÙC
VUOÂNG CAÂN

Các con đường đặc biệt hóa do học sinh tự phát hiện và đưa ra dưới dạng sơ đồ
riêng của mình, do đó kiến thức các em nhận được sẽ nhớ lâu và sâu hơn.
II - SỬ DỤNG ĐẶC BIỆT HOÁ ĐỂ TẠO RA CÁC BÀI TOÁN MỚI .
Với một bài toán mới cần khai thác kỹ giả thiết của bài toán, tìm xem giả thiết
nào có thể đặc biệt và hướng đặc biệt giả thiết đó rồi đặc biệt hóa một hay nhiều
giả thiết để tạo ra các bài toán mới.
Ví dụ 1 : Đặc biệt hóa hình đã cho ban đầu để tạo ra nhiều bài toán mới có
thể sử dụng cách chứng minh của bài toán ban đầu.
Baøi toaùn 1 : Cho tam giaùc ABC coù
A
N
AC > AB, treân AC laáy ñieåm D sao
D
cho CD = AB. Goïi M vaø N thöù töï laø
trung ñieåm cuûa BC vaø AD. Chöùng
C
B
M
minh :
=2
Xeùt baøi toaùn 1, ñoái töôïng ban ñaàu laø tam giaùc ABC coù theå laø caùc tam giaùc
ñaëc bieät thoûa yeâu caàu AC > AB. Töø ñoù ta coù caùc baøi toaùn môùi sau :
6

* Đặc biệt hoùa: Tam giaùc ABC
caân taïi C ta coù:
Baøi toaùn 1.1 : Cho tam giaùc ABC
caân taïi C coù AC > AB, treân AC
laáy ñieåm D sao cho CD = AB. Goïi
M vaø N thöù töï laø trung ñieåm cuûa
BC vaø AD. Chöùng minh :
=

A
N
D

C

B

M

.

* Đặc biệt hoùa : Tam giaùc ABC
vuoâng taïi A ta coù:
Baøi toaùn 1.2 : Cho tam giaùc ABC
vuoâng taïi A coù AC > AB, treân AC
laáy ñieåm D sao cho CD = AB. Goïi
M vaø N thöù töï laø trung ñieåm cuûa
BC vaø AD. Chöùng minh :
= 450 .

A
N
D

C

B

M

A
N

* Đặc biệt hoùa: Tam giaùc ABC
vuoâng caân taïi B ta coù:
Baøi toaùn 1.3 : Cho tam giaùc ABC
vuoâng caân taïi B, treân AC laáy ñieåm
D sao cho CD = AB. Goïi M vaø N
thöù töï laø trung ñieåm cuûa BC vaø
AD. Tính
?

D

C

B

M

A

* Đặc biệt hoùa: Tam giaùc ABC
caân taïi C vaø CÂ = 360 ta coù:
Baøi toaùn 1.4 : Cho tam giaùc ABC
caân taïi C có = 360, treân AC laáy
ñieåm D sao cho CD = AB. Goïi M
vaø N thöù töï laø trung ñieåm cuûa BC
vaø AD. Chöùng minh : CMN caân.

N
D

360
C

7

M

B

Baøi toaùn 1.5 : Cho tam giaùc ABC
caân taïi C coù = 360, treân AC laáy
ñieåm D sao cho CD = AB. Goïi M
vaø N thöù töï laø trung ñieåm cuûa BC
vaø AD. Chöùng minh:
CNB vuoâng.
Baøi toaùn 1.6 : Cho tam giaùc ABC
caân taïi C coù = 360, treân AC laáy
ñieåm D sao cho CD = AB. Goïi M
vaø N thöù töï laø trung ñieåm cuûa BC
vaø AD. Tính
?
…

Baøi toaùn 1 vaø caùc baøi toaùn môùi töø vieäc ñaëc bieät hoùa coù theå giaûi theo moät
soá caùch khác nhau như sau:
Bài toán 1: Cho tam giaùc ABC coù
AC > AB, treân AC laáy ñieåm D sao cho
CD = AB. Goïi M vaø N thöù töï laø trung
ñieåm cuûa BC vaø AD. Chöùng minh :
=2
.
Lời giải
Caùch 1: Goïi K laø trung ñieåm cuûa BD
ta coù :
+ NK // AB
=
(2 góc đồng vị)
+ MK // AC
=
(2 góc so le trong)
+ MNK caân taïi K
=
ñpcm
Caùch 2: Goïi I laø trung ñieåm cuûa AC ta
coù :
+ MI // AB
=
(2 góc đồng vị)
+ MNI caân taïi I
=
+ Coù
=
+
ñpcm
8

A
N
D
K

C

B

M

A
N
D

C

I

M

B

Caùch 3: Goïi H laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A
qua M ta coù :
+ CH // AB
= 1800 –
+ CHD caân taïi C
= 1800 – 2
+ MN // HD
=
ñpcm

A
N
D

C

B

M

H

Caùch 4: Goïi L laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D
qua M ta coù : AC // BL, MN // AL,
ALB caân taïi B.
ñpcm

A
N
D

C

B

M
L

R

Caùch 5: Goïi R laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B
qua N ta coù :
CDR caân taïi D vaø
DR // AB
ñpcm

A
N
D
C

Caùch 6: Goïi AS laø phaân giaùc cuûa
(S
BC). Ñaët AB = c, AN = ND = b,
CM = MB = a, SM = x ta coù :

b
b
c

9

N

c
M

a
ñpcm

A

D

C

MN // AS

B

M

x

B

S

a

III - SỬ DỤNG ĐẶC BIỆT HOÁ ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong giải toán, việc xét trường hợp đặc biệt của một bài toán nhiều khi giúp ta
giải được bài toán hoặc giúp ta tìm thấy hướng giải của bài toán. Khi giải bài
toán gặp khó khăn hãy xét đến trường hợp đặc biệt của bài toán hoặc một bài
toán tương tự hay khi gặp một bài toán phức tạp thì hãy nghĩ ngay đến những
trường hợp đặc biệt của nó.Với cách suy nghĩ trên sẽ giúp chúng ta dự đoán
được kết quả, phát hiện ra cách giải của bài toán đã cho.
Ví dụ 1: Đối với học sinh lớp 6, lớp 7, chúng ta có thể giúp các em làm quen với
bài toán đặc biệt hóa dưới dạng đơn giản, chẳng hạn như khi có hai đoạn thẳng
bằng nhau trong vài vị trí đặc biệt mà ta thu được kết quả như sau:
@ Hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau, rời nhau và cùng nằm trên một đường
thẳng.
A

B

M

C

D

Nếu ta gọi M là trung điểm của AD ( hoặc của BC) thì ta dễ dàng chứng minh
được M cũng là trung điểm của BC (hoặc của AD). Điều này giúp các em phát
hiện thêm yếu tố bằng nhau trong việc giải toán .
@ Hai đoạn thẳng bằng nhau, có một mút chung và cùng nằm trên một đường
thẳng .
A

B C

D

Khi đó mút chung chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai mút còn lại.
@ Hai đoạn thẳng bằng nhau và có một mút chung (AB và AC)

A D

Khi đó ta có ∆ABC cân tại A
hoặc A thuộc đường trung trực của BC
Tiếp tục có thể sử dụng tính chất tam giác cân
hoặc tính chất đường trung trực để giải tiếp bài toán
mà đề bài có yêu cầu chứng minh.

10

B

C

Ví dụ 2: Ñaëc bieät hoùa ñeå ñöa ra döï ñoaùn söï chuyeån ñoäng.
Đặc biệt hóa phát huy hiệu quả cao trong việc dự đoán quỹ tích. Bên cạnh đó
đặc biệt hóa còn kích thích khả năng tìm tòi, phân tích và tổng hợp để đưa ra dự
đoán và cách giải bài toán. Xét bài toán sau:

Baøi toaùn: Cho tam giaùc ABC, M laø ñieåm di ñoäng treân BC. Trung ñieåm I cuûa
AM di ñoäng treân ñöôøng naøo ?
A
Caùch 1:
+ Khi cho M truøng C thì I
laø trung ñieåm G cuûa caïnh AC
G
F
I
+ Khi cho M truøng B thì I
laø trung ñieåm F cuûa caïnh AB
döï ñoaùn I chaïy treân ñöôøng trung bình FG
B
M
cuûa tam giaùc ABC
Nhö vaäy ta caàn chöùng minh ba ñieåm F , I, G thaúng haøng, töø ñoù tìm caùch
giaûi baøi toaùn.
Caùch 2:
A
+ Khi cho M truøng H laø chaân ñöôøng cao AH cuûa
tam giaùc ABC thì I laø trung ñieåm S cuûa AH.
S
G
F
I
S naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa AH.
döï ñoaùn I naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa AH.
Nhö vaäy caàn chöùng minh I caùch ñeàu A vaø H , B
M
H
töø ñoù tìm caùch giaûi baøi toaùn.
Caùch 3:
A
+ Khi cho M truøng H laø chaân ñöôøng cao AH cuûa
tam giaùc ABC thì I laø trung ñieåm S cuûa AH.

SH =

AH = conts (khoâng ñoåi).

F

S

C

C

G

I

döï ñoaùn I naèm treân ñöôøng thaúng song song
vôùi BC, caùch BC moät khoaûng khoâng ñoåi

AH

B

Nhö vaäy caàn chöùng minh khoaûng caùch töø I ñeán BC
khoâng ñoåi. Töø ñoù tìm caùch giaûi baøi toaùn.
11

H

N

M

C

Ví duï 3 : Ñaëc bieät hoùa ñeå phaùt hieän ñieåm coá ñònh khi ñoái töôïng chuyeån
ñoäng.
Baøi toaùn: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O') caét nhau taïi A vaø B. Qua A veõ moät
caùt tuyeán di ñoäng caét (O) vaø (O') laàn löôït taïi K vaø L. Goïi H laø trung ñieåm KL.
Veõ ñöôøng thaúng d ñi qua H vaø vuoâng goùc vôùi KL. Chöùng minh raèng : ñöôøng
d
thaúng d luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
Vieäc phaùt hieän ñöôøng thaúng d luoân ñi qua
moät ñieåm cho ta nghó tôùi vieäc ñaëc bieät hóa
Caùc vò trí cuûa caùt tuyeán KL.

L

A

H
K
O

O'

B

Caùch 1:
Ñaëc bieät hoùa caùt tuyeán KL ñi qua taâm O vaø taâm O'
Luùc ñoù K
M vaø L
N laø hai ñieåm coá ñònh
trung ñieåm cuûa MN laø ñieåm coá ñònh.
döï ñoaùn d ñi qua ñieåm coá ñònh naøy.
caùch giaûi baøi toaùn

d
L

A

H

K
O

O'

M

N

B

Caùch 2:
+ Ñaëc bieät hoùa caùt tuyeán KL laø tieáp tuyeán cuûa (O)
taïi A luùc ñoù L
N laø ñieåm coá ñònh.
trung ñieåm H2 laø ñieåm coá ñònh.
+ Ñaëc bieät hoùa caùt tuyeán KL laø tieáp tuyeán cuûa (O')
K
taïi A luùc ñoù K
M laø ñieåm coá ñònh.
trung ñieåm H1 laø ñieåm coá ñònh.
+ OH1 vaø O'H2 caét nhau taïi I laø ñieåm coá ñònh.
M
döï ñoaùn d ñi qua ñieåm coá ñònh naøy.
ta coù AOIO' laø hình bình haønh neân I ñoái xöùng
vôùi A qua trung ñieåm cuûa OO' caùch giaûi baøi toaùn
12

d

L

A

H
H1

H2

O

O'

I

B

N

C – KẾT LUẬN :
Vieäc söû duïng ñaëc bieät hoùa trong giaûng daïy, ñem laïi cho chuùng ta nieàm say
meâ trong vieäc döï ñoaùn vaø saùng taïo caùc baøi toaùn môùi cuõng nhö vieäc tìm lôøi
giaûi caùc baøi toaùn đại số và hình hoïc khoù bằng nhiều cách khác nhau. Giuùp cho
hoïc sinh hieåu baøi saâu hôn nhôø vaøo söï tìm toøi, saùng taïo cuûa caùc em vaø hoïc sinh
coù thaùi ñoä caån thaän hôn khi xeùt caùc tröôøng hôïp v ận dụng từng kiến thức về
đại số cũng như khi xét các trường hợp từng hình veõ bộ môn hình học vaø töï
tin hôn khi giaûi caùc baøi toaùn di ñoäng vaø cöïc trò hình hoïc.
Do năng lực chuyên môn của bản thân cũng còn hạn chế, còn học hỏi các
anh chị đồng nghiệp ở trường sở tại và các trường bạn rất nhiều. Vì vậy qua
chuyên đề này bản thân nhận thấy chắc chắn còn rất nhiều thiếu sót. Mong rằng
tất cả các thầy cô bộ môn toán trong toàn huyện thông cảm và đóng góp thêm để
cho chuyên đề được hoàn chỉnh hơn. Xin cảm ơn tất cả các thầy cô đã dành chút
thời gian quý báo để xem chuyên đề. Cuối cùng xin chúc tất cả các Thầy Cô
được nhiều sức khỏe và chuẩn bị đón những ngày tết nguyên đán thật hạnh phúc
và nhiều may mắn trong năm mới 2025 . Xin kính chào đoàn kết.
Lộc Giang, ngaøy 15 thaùng 01 naêm 2025
Giáo viên biên soạn

Nguyễn Công Linh
(Trường TH_THCS Lộc Giang)

13