Sè nguyªn tè

I. KiÕn thøc cÇn nhí:
1. DÞnh nghÜa:
* Sè nguyªn tè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã hai ­íc lµ 1 vµ chÝnh nã.
* Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, cã nhiÒu h¬n hai ­íc.
2. TÝnh chÊt:
* NÕu sè nguyªn tè p chia hÕt cho sè nguyªn tè q th× p = q.
* NÕu tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× Ýt nhÊt mét thõa sè cña tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p.
* NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× tÝch ab kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p .
3. C¸ch nhËn biÕt mét sè nguyªn tè:
a) Chia sè ®ã lÇn l­ît cho c¸c sè nguyªn tè ®· biÕt tõ nhá ®Õn lín.
- NÕu cã mét phÐp chia hÕt th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.
- NÕu chia cho ®Õn lóc sè th­¬ng nhá h¬n sè chia mµ c¸c phÐp chia vÉn cßn sè d­ th× ssã ®ã lµ sè nguyªn tè.
b) Mét sè cã 2 ­íc sè lín h¬n 1 th× sè ®ã kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.
4. Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè:
* Ph©n tÝch mét sè tù nhiªn lín h¬n 1 ra thõa sè nguyªn tè lµ viÕt sè ®ã d­íi d¹ng mét tÝch c¸c thõa sè nguyªn tè.
- D¹ng ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè cña mçi sè nguyªn tè lµ chÝnh sè ®ã.
- Mäi hîp sè ®Òu ph©n tÝch ®­îc ra thõa sè nguyªn tè.


5. Sè c¸c ­íc sè vµ tæng c¸c ­íc sè cña mét sè:


6. Sè nguyªn tè cïng nhau:
* Hai sè nguyªn tè cïng nhau lµ hai sè cã ¦CLN b»ng 1.
Hai sè a vµ b nguyªn tè cïng nhau
¦CLN(a, b) = 1.
C¸c sè a, b, c nguyªn tè cïng nhau
¦CLN(a, b, c) = 1.
C¸c sè a, b, c ®«i mét nguyªn tè cïng nhau
¦CLN(a, b) = ¦CLN(b, c) = ¦CLN(c, a) =1.
II. C¸c vÝ dô:
VD1: Ta biÕt r»ng cã 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100. Tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n hay sè lÎ.
HD:
Trong 25 sè nguyªn tè nhá h¬n 100 cã chøa mét sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2, cßn 24 sè nguyªn tè cßn l¹i lµ sè lÎ. Do ®ã tæng cña 25 sè nguyªn tè lµ sè ch½n.
VD2: Tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012. T×m sè nguyªn tè nhá nhÊt trong ba sè nguyªn tè ®ã.
HD:
V× tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012, nªn trong 3 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2 vµ lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt. VËy sè nguyªn tè nhá nhÊt trong 3 sè nguyªn tè ®ã lµ 2.
VD3: Tæng cña 2 sè nguyªn tè cã thÓ b»ng 2003 hay kh«ng? V× sao?
HD:
V× tæng cña 2 sè nguyªn tè b»ng 2003, nªn trong 2 sè nguyªn tè ®ã tån t¹i 1 sè nguyªn tè ch½n. Mµ sè nguyªn tè ch½n duy nhÊt lµ 2. Do ®ã sè nguyªn tè cßn l¹i lµ 2001. Do 2001 chia hÕt cho 3 vµ 2001 > 3. Suy ra 2001 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.
VD4: T×m sè nguyªn tè p, sao cho p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.
HD:
Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè.
NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Òu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.
NÕu p
3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k
N*.
+) NÕu p = 3k
p = 3
p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.
+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
p + 2
3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã
p + 2 lµ hîp sè.
+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)
p + 4
3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã
p + 4 lµ hîp sè.
VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.
VD5: Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hîp sè.
HD:
V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k
N*.
- NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)
p + 4
3 vµ p + 4 > 3. Do ®ã
p + 4 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 4 lµ sè nguyªn tè).
- NÕu p = 3k + 1 th× p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3)
p + 8
3 vµ p + 8 > 3. Do ®ã
p + 8 lµ hîp sè.
VËy sè nguyªn tè p cã d¹ng: p = 3k + 1 th× p + 8 lµ hîp sè.
VD6: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1.
HD:
Mçi sè tù nhiªn n khi chia cho 4 cã thÓ cã 1 trong c¸c sè d­: 0; 1; 2; 3. Do ®ã mäi sè tù nhiªn n ®Òu cã thÓ viÕt ®­îc d­íi 1 trong 4 d¹ng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3
víi k
N*.
NÕu n = 4k
n
4
n lµ hîp sè.
NÕu n = 4k + 2
n
2
n lµ hîp sè.
VËy mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4k + 1 hoÆc 4k – 1. Hay mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng 4n + 1 hoÆc 4n – 1 víi n
N*.
VD7: T×m ssã nguyªn tè, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng cña hai sè nguyªn tè vµ b»ng hiÖu cña hai sè nguyªn tè.
HD:


VD8: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.
HD:


VD9: Cho p vµ p + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng p + 1
6.
HD:
V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k + 2 víi k
N*.
- NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
p + 2
3 vµ p + 2 > 3. Do ®ã
p + 2 lµ hîp sè ( Tr¸i víi ®Ò bµi p + 2 lµ sè nguyªn tè).
- NÕu p = 3k + 2 th× p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).
Do p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3
p lÎ
k lÎ
k + 1 ch½n
k + 1
2 (2)
Tõ (1) vµ (2)
p + 1
6.
II. Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:
p + 2 vµ p + 10.
p + 10 vµ p + 20.
p + 10 vµ p + 14.
p + 14 vµ p + 20.
p + 2vµ p + 8.
p + 2 vµ p + 14.
p + 4 vµ p + 10.
p + 8 vµ p + 10.
Bµi 2: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:
p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.
p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.
Bµi 3:
Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 8 lµ hîp sè.
Cho p vµ 2p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 10p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 5p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ p + 8 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: p + 4 lµ hîp sè.
Cho p vµ 4p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 5p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 10p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p - 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p2 - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 + 1 lµ hîp sè.
Cho p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 - 1 lµ hîp sè.
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
NÕu p vµ q lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p2 – q2
24.
NÕu a, a + k, a + 2k (a, k
N*) lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× k
6.
Bµi 5:
Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d­ r lµ hîp sè. T×m sè d­ r.
Mét sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d­ r. T×m sè d­ r biÕt r»ng r kh«ng lµ sè nguyªn tè.
Bµi 6: Hai sè nguyªn tè gäi lµ sinh ®«i nÕu chóng lµ hai sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp. Chøng minh r»ng mét sè tù nhiªn lín h¬n 3 n»m gi÷a hai sè nguyªn tè sinh ®«i th× chia hÕt cho 6.
Bµi 7: Cho 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3, trong ®ã sè sau lín h¬n sè tr­íc lµ d ®¬n vÞ. Chøng minh r»ng d chia hÕt cho 6.
Bµi 8: T×m sè nguyªn tè cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng­îc l¹i th× ta ®­îc mét sè lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn.
Bµi 9: T×m sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè, ch÷ sè hµng ngh×n b»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, ch÷ sè hµng tr¨m b»ng ch÷ sè hµng chôc vµ sè ®ã viÕt ®­îc d­íi d¹ng tÝch cña 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp.
Bµi 10: T×m 3 sè nguyªn tè lÎ liªn tiÕp ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè.
Bµi 11: T×m 3 sè nguyªn tè liªn tiÕp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 còng lµ sè nguyªn tè.
Bµi 12: T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè nguyªn tè a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.
Bµi 13: T×m 3 sè nguyªn tè p, q, r sao cho pq + qp = r.
Bµi 14: T×m c¸c sè nguyªn tè x, y, z tho¶ m·n xy + 1 = z.
Bµi 15: T×m sè nguyªn tè

Bài 16: Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c
N*) lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng 3 sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau.
Bµi 17: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho:
x2 – 12y2 = 1.
3x2 + 1 = 19y2.
5x2 – 11y2 = 1.
7x2 – 3y2 = 1.
13x2 – y2 = 3.
x2 = 8y + 1.
Bµi 18: T×m 3 sè nguyªn tè sao cho tÝch cña chóng gÊp 5 lÇn tæng cña chóng.
Bµi 19: Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè lµ
p = 3.
Bµi 20: Chøng minh r»ng: NÕu a2 – b2 lµ mét sè nguyªn tè th× a2 – b2 = a + b.
Bµi 21: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè lín h¬n 3 ®Òu cã d¹ng 6n + 1 hoÆc
6n – 1.
Bµi 22: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph­¬ng cña 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3 kh«ng thÓ lµ mét sè nguyªn tè.
Bµi 23: Cho sè tù nhiªn n
2. Gäi p1, p2, ..., pn lµ nh÷ng sè nguyªn tè sao cho
pn
n + 1. §Æt A = p1.p2 ...pn. Chøng minh r»ng trong d·y sè c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp: A + 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Kh«ng chøa mét sè nguyªn tè nµo.
Bµi 24: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th× 2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1
p.
Bµi 25: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th× 2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1
p.