Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

TRƯỜNG THCS TÂN ĐỨC
TỔ TOÁN

CHUYÊN ĐỀ

ĐƯỜNG TRÒN. CÁC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

NẲM HỌC : 2025 -2026
Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

Chuyên đề: ĐƯỜNG TRÒN. CÁC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
I . ĐẶT VẤN ĐỀ:
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, nó có vai trò rất quan trọng. Môn toán có
khả năng giúp học sinh phát triển năng lực và trí tuệ, góp phần vào việc giáo dục cho học
sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và trong lao động.
Chương trình toán học rất rộng, các em lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức
lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy, người giáo viên phải biết vận dụng các
phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho các em một cách dễ
hiểu nhất.
Trong chương trình đại số THCS nói chung, lớp 9 nói riêng, có rất nhiều dạng bài
tập. Trong đó nội dung về đường tròn là một dạng toán mà các em cũng thường xuyên
gặp trong các bài kiểm tra và đặc biệt là trong kỳ thi tuyển sinh 10. Qua quá trình giảng
dạy tôi nhận thấy đa phần các em còn lúng túng trong cách vẽ hình và chưa biết cách giải
ra sao.
Từ thực tiễn đó, để giúp các em rèn luyện dạng toán này một cách tốt nhất, trong
quá trình dạy chương trình toán 9, chúng tôi đã viết lên chuyên đề “ Đường tròn. Các vị
trí tương đối”

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
I. ĐƯỜNG TRÒN
1. Khái niệm đường tròn:
Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp các điểm cách điểm O một khoảng bằng R
( R > 0), kí hiệu  O; R  .

2. Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn
+ Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung)
của đường tròn.
+ Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn. Trong các dây của đường tròn, dây lớn
nhất là đường kính.
Xét đường tròn (O) có:
AB là đường kính, MN là dây nên AB > MN

3. Tính đối xứng của đường tròn
+ Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của
đường tròn đó.
+ Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối
xứng của đường tròn đó.

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN :
Xét hai đường tròn  O; R  và  O '; r  giả sử R > r > 0 .
1. Hai đường tròn cắt nhau :
Hai đường tròn có đúng hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.
Mỗi điểm chung đó được gọi là giao điểm của hai đường tròn.

Hệ thức giữa OO ' với R và r : R  r  OO '  R  r
2. Hai đường tròn tiếp xúc :
Hai đường tròn có đúng một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau (tại
điểm chung đó).
Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau được gọi là tiếp điểm
Ta có hai trường hợp về hai đường tròn tiếp xúc nhau
a) Tiếp xúc ngoài:

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học
Hệ thức giữa OO ' với R và r : OO '  R  r

b) Tiếp xúc trong:

Hệ thức giữa OO ' với R và r : OO '  R  r
3. Hai đường tròn không giao nhau :
Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.
* Ta có hai trường hợp về hai đường tròn không giao nhau:
a) Hai đường tròn ở ngoài nhau

Hệ thức giữa OO ' với R và r : OO '  R  r
b) Đường tròn (𝑂) đựng đường tròn (𝑂' )

Hệ thức giữa OO ' với R và r : OO '  R  r
Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN :
1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn cắt
nhau.
Mỗi điểm chung được gọi là giao điểm.

Đường thẳng a cắt đường tròn  O; R  : OH < R
2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một đỉnh dung, ta nói đường thẳng và đường tròn
tiếp xúc nhau tại điểm chung đó.
- Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến
của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.

Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn  O; R  : OH = R

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán
kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn
không giao nhau.

Đường thẳng a và đường tròn  O; R  không giao nhau : OH > R

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Bài tập về vị trí tương đối của hai đường tròn
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O' ; 3 cm). Biết rằng OO' = 5 cm. Xét vị trí
tương đối của hai đường tròn đó.

Giải:

Ta thấy R = 4 cm; r = 3 cm.
R – r = 4 – 3 = 1 cm ;
R + r = 4 + 3 = 7 cm;

Vì 1 cm < 5 cm < 7 cm, nên R  r  OO '  R  r
Vậy hai đường tròn đã cho cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O ; 2,5 cm) và (O' ; 4,5 cm). Tìm độ dài đoạn thẳng OO',
biết hai đường tròn đó tiếp xúc trong.

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

Giải: Ta có: R = 4,5 cm và r = 2,5 cm
Vì hai đường tròn tiếp xúc trong nên OO' = R – r= 4,5 – 2,5 = 2 cm
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn  O;14cm  ,  O ';5cm  với OO '  8cm . Hỏi hai đường tròn này có
cắt nhau hay không?
Giải : Ta thấy R = 14 cm; r = 5 cm.
R + r = 14 + 5 = 19 cm
R – r = 14 – 5 = 9cm
Vì 8cm < 9cm hay OO '  R  r nên hai đường tròn này không cắt nhau.
Ví dụ 4: Cho hai đường tròn  O; R  ,  O '; R '  ở đó R > R' và OO '  6cm . Xét vị trí tương đối
của hai đường tròn đó trong mỗi trường hợp sau:
a)

R = 4cm và R' = 2cm

b)

R = 8cm và R' = 2cm

Giải:
a) Ta thấy R  R '  4  2  6(cm) nên OO '  R  R '
Vậy hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài
b) Ta thấy R  R '  8  2  6(cm) nên OO '  R  R '
Vậy hai đường tròn đó tiếp xúc trong.
Ví dụ 5: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O ; 6 cm) và (O' ; 2 cm), biết
rằng OO' = 9 cm.
Giải:

Ta có: r = 2 cm và R = 6 cm, vậy R + r = 6 + 2 = 8 cm < OO' = 9 cm
Vậy (O) và (O') là hai đường tròn ngoài nhau

Ví dụ 6: Cho hai đường tròn (O ; 6,5 cm) và (O' ; 3 cm). Biết rằng OO' = 3 cm. Xét vị trí
tương đối của hai đường tròn đó.
Giải:
Bán kính của hai đường tròn (O), (O') lần lượt là R = 6,5 cm, r = 3 cm.
Do R – r = 6,5 – 3 = 3,5 (cm) và 3 < 3,5 nên R – r > OO'.
Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

Vậy hai đường tròn (O ; 6,5 cm) đựng đường tròn (O' ; 3 cm)
Dạng 2: Bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  3cm, BC  5cm . Đường thẳng AB có tiếp
xúc với đường tròn  C ; 4cm  hay không? Vì sao?
Giải:
Xét ABC vuông tại A, ta có:
BC 2  AB2  AC 2

Suy ra AC  BC 2  AB2  52  32  4(cm)
Vì AB  AC tại A nên khoảng cách từ C đến AB bằng CA.
Mà CA = 4(cm) nên khoảng cách từ tâm C của đường tròn
đến đường thẳng AB bằng bán kính của đường tròn.
Vậy đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn  C ; 4cm  .

Ví dụ 2: Cho điểm O và đường thẳng a thỏa mãn khoảng cách từ O đến đường thẳng a
bằng 4cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và các đường tròn

 O;3cm  ,  O; 4cm  ,  O;5cm  .
Giải:
+ Vì 4cm > 3cm nên khoảng cách từ O đến
đường thẳng a lớn hơn bán kính của đường tròn

 O;3cm  . Vậy đường thẳng a và đường tròn
 O;3cm  không giao nhau.
+ Vì khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng
bán kính của đường tròn  O; 4cm  . Vậy đường
thẳng a và đường tròn  O; 4cm  tiếp xúc nhau.
Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

+ Vì 4cm < 5cm nên khoảng cách từ O đến đường thẳng a nhỏ hơn bán kính của đường
tròn  O;5cm  . Vậy đường thẳng a và đường tròn  O;5cm  cắt nhau.

Dạng 3: Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn
Ví dụ : Cho đường tròn  O  và điểm I nằm ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của
đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn  O  . Chứng minh đường thẳng IM là
tiếp tuyến của  O  tại M.
Giải:

1
2

Ta có: MK  IO ( Vì MK là bán kính, IO là đường kính)
Xét IMO có đường trung tuyến MK bằng nửa cạnh IO nên tam giác IMO vuông tại M.
Do đó, IM  MO tại M
Mà M   O 
Vậy dường thẳng IM là tiếp tuyến của đường tròn  O  tại M.

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O; R  vẽ tiếp tuyến AB ( B là tiếp điểm ).
Lấy một điểm C trên đường tròn sao cho AC = AB. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến
của đường tròn  O; R  .
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 4cm và BC = 5cm. Chứng minh rằng
AC là tiếp tuyến của đường tròn  B;3cm  .
Bài tập 3: Cho A là một điểm thuộc đường tròn  O  , M là một điểm thuộc tiếp tuyến của

 O  tại A ( M khác A ). Đường tròn tâm M bán kính MA cắt  O  tại B ( B khác A ).
Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của  O 
Bài tập 4: Cho đường tròn  O  dây BC khác đường kính , qua O kẻ đường thẳng vuông
góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn tại A. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến
của đường tròn  O  .
Bài tập 5: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến tại B với đường tròn

 O  , trên tiếp tuyến lấy điểm P. Qua A kẻ đường thẳng song song với OP cắt  O  tại Q.
Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn  O  .
Bài tập 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh
rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

III. KẾT LUẬN
Tóm lại, vì tính chất đặc thù của môn học lí thuyết lồng trong bài tập. Muốn giải bài
tập bắt buộc học sinh phải nắm vững lí thuyết, nên quá trình ôn tập không nhất thiết phải
phân biệt rõ ràng giữa lí thuyết và bài tập mà phải từ bài tập kiểm tra lí thuyết và ngược
lại kiểm tra lí thuyết là vận dụng ngay để làm bài tập. Quá trình phân loại và hình thành
cách giải của từng dạng bài tập trên khi được nhắc lại là tự bản thân học sinh phải nắm
được lí thuyết đã học.
Vừa giải bài tập, chúng ta vừa ôn lại kiến thức cho học sinh. Qua đó chúng ta có thể
hệ thống lại toàn bộ kiến thức thông qua các dạng bài tập đã học.
Trên đây là dạng bài tập chúng tôi đã từng hướng dẫn học sinh làm tốt các dạng bài
tập về đường tròn. Để làm được điều này, chúng ta phải bắt đầu hệ thống bài tập theo từng
dạng. Có như vậy thì đến lúc ôn tập, học sinh đã có hệ thống bài tập rõ ràng, phương pháp
giải cụ thể nên khi làm bài các em chỉ cần xác định đúng dạng là có thể vận dụng ngay
cách giải.
Do thời gian có hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh đại
trà nên những dạng bài tập trong chuyên đề để dành cho học sinh khá giỏi còn đơn giản
và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ, do đó không tránh khỏi thiếu sót, rất mong các đồng
nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính
thiết thực hơn!
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Tổ Toán THCS Tân Đức

Chuyên đề dạy học theo hướng nghiên cứu bài học

Thành viên tổ:
Mai Thị Thùy Linh ……………..
Trương Ngọc Hạnh………………
Hà Quang Nhị……………………
Ngô Thị Hồng Nguyệt……………
Lại Thị Thùy Linh………………..
Phan Thanh Tâm…………………
Huỳnh Thị Bé Trang……………..
Nguyễn Thị Hà……………………
Nguyễn Hoàng Lân………………..
Trần Văn Trưởng……………………
Mai Thanh Liêm……………………

Tổ Toán THCS Tân Đức