Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

Trường:THPT Võ Văn Kiệt

Họ và tên giáo viên: Trần Thanh Thiện

Tổ: TOÁN-TIN

Ngày dạy: 10/3-5/4/2025

Ngày soạn: 9/3/2025
Tiết PPCT: 26-29
TÊN BÀI DẠY:

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp:11A1, 11A3
Thời gian thực hiện: 4 tiết
Tiết theo ppct: 26-29
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Học xong bài này học sinh đạt các yêu cầu sau:

-

Nhận biết được hình biểu diễn của một hình.

-

Nhận biết được hình chiếu vuông góc và mối liên hệ giữa chúng.

-

Nhận biết được hình chiếu trục đo và hình chiếu vuông góc đều.

2. Về năng lực:

Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa
các đối tượng đã cho và nội dung bài học, từ đó có thể áp dụng kiến thức đã học
để giải quyết các bài toán.

-

Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn
gắn với hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo.

-

Giao tiếp toán học: Đọc, hiểu thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng thước kẻ, ê ke, phần mềm vẽ
hình.

3. Về phẩm chất:

-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm,
tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với giáo viên: SGK, tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với học sinh: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập, bảng nhóm,…
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. Hoạt động 1: Mở đầu

a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV cho HS quan sát hình 3.1 trong phần mở đầu của bài học và dẫn dắt:

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

Trong vẽ kĩ thuật, người ta thương sử dụng các hình vẽ trên giấy để biểu diễn, mô tả các
vật thể trong không gian (H.3.1). Toán học mô tả các hình vẽ đó như thế nào, và chúng
có những đặc điểm gì? Ta cùng tìm hiểu qua bài học này.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới: “Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu về hình chiếu vuông góc
và hình chiếu trục đo. Đây là hai phương pháp hình chiếu quan trọng, được sử dụng rộng
rãi trong kỹ thuật. Để hiểu rõ hơn về hai phương pháp này, chúng ta cần tìm hiểu về các
khái niệm, quy tắc và phương pháp vẽ hình chiếu của chúng”.

2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức

a) Mục tiêu:
- HS nhận biết khái niệm hình biểu diễn của một hình H lên mặt phẳng qua một phép
chiếu.
- Thực hành xác định được hình thể hiện hình chiếu trục đo của một tứ giác.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các HĐ1; Luyện tập 1; đọc và giải thích các Ví dụ.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi.
HS nắm được khái niệm hình biểu diễn của một hình H lên mặt phẳng qua một phép
chiếu.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Hình biểu diễn của một hình, khối.

- GV cho HS quan sát Hình 3.2 và HĐ1
yêu cầu HS nhắc lại những phép
chiếu đã được học.
+ GV có thể gợi ý: Hình a) là phép
chiếu song song; Hình b) là phép
chiếu vuông góc; Hình c) là phép
chiếu xuyên tâm.
+ GV yêu cầu HS nhắc về khái
niệm của ba hình chiếu vừa nói
trên.

Hình 3.2a sử dụng phép chiếu song song. Phép
chiếu song song là phép chiếu có các tia chiếu
song song với nhau nhưng không vuông góc với
mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2b sử dụng phép chiếu vuông góc. Phép
chiếu vuông góc là phép chiếu có các tia chiếu
vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

- GV trình chiếu kiến thức trong
khung kiến thức trọng tâm và giảng
giải cho HS nắm được hình biểu
diễn của một hình, khối.

Hình 3.2c sử dụng phép chiếu xuyên tâm. Phép
chiếu xuyên tâm là phép chiếu có các tia chiếu
xuất phát tại một điểm (điểm này gọi là tâm
chiếu).

- Trong hình a) và b) GV cần giảng Ghi nhớ
giải và chỉ cho HS thấy sự khác
Hình biểu diễn H ' của một hình, khối H trong
biệt cơ bản của hai loại hình chiếu
không gian là hình chiếu của H lên một mặt
song song và vuông góc: “Hình
phẳng qua một phép chiếu.
chiếu vuông góc thường có phương
- Nếu phép chiếu là phép chiếu vuông góc thì H '
chiếu song song với một chiều nào
được gọi là hình chiếu vuông góc của H
đó của vật thể, trong khi hình chiếu
- Nếu phép chiếu là phép chiếu song song
trục đo thì không; Hình chiếu trục
(nhưng không là phép chiếu vuông góc) thì H '
đo thể hiện được nhiều mặt của vật
được gọi là hình chiếu trục đo của H .
thể hơn”.
- GV cho HS quan sát Hình 3.3 và
hướng dẫn cho HS thực hiện yêu
cầu của Ví dụ 1 theo hướng dẫn
trong SGK.
+ HS nhận biết được ở hình a) là Ví dụ 1: SGK – tr. 53
hình chiếu vuông góc; Hình b) và Hướng dẫn giải: SGK – tr.53
c) là hình chiếu trục đo.
- HS quan sát Hình 3.4 và thực hiện
yêu cầu của Luyện tập 1.
+ GV chỉ định một số HS đứng tại
chỗ nêu đáp án.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

+ GV nhận xét và chốt đáp án.
Luyện tập 1.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Hình thể hiện hình chiếu trục đo là: a) và c).

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các
yêu cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

a) Mục tiêu:
- HS nhận biết được các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh của một vật
thể.
- Thực hành xác định ba hình chiếu đứng, bằng, cạnh của một vật thể.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các HĐ2; Luyện tập 2, 3; Vận dụng 1; đọc và giải thích các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi.
HS nắm được hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh của một vật thể.
d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

2. Hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình
chiếu cạnh.

- GV triển HĐ2 và cho HS quan sát HĐ2
hình 3.5.
+ GV yêu cầu HS nhận xét về cách
mà các hình A , B , C được tạo ra và
liên hệ với khái niệm về phép chiếu
song song hoặc vuông góc đã được
học trong chương trình môn Toán
lớp 11.
+ GV chỉ định một số HS nhắc lại
các khái niệm, thuật ngữ về hình
chiếu, phương chiếu, mặt phẳng
chiếu,….

+ Hình A là hình chiếu của H qua phép chiếu
vuông góc với mặt phẳng chiếu là ( P1 ) và
phương chiếu song song với Oy .
+ Hình B là hình chiếu của H qua phép chiếu
vuông góc với mặt phẳng chiếu là ( P2 ) và
phương chiếu song song với Oz .
+ HÌnh C là hình chiếu của H qua phép chiếu
vuông góc với mặt phẳng chiếu là ( P3 ) và
phương chiếu song song với Ox .

- GV trình chiếu Hình 3.6 và giảng
cho HS nắm được hình chiếu đứng,

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh.

Cho hình H trong không gian và ba mặt phẳng

( P1 ) , ( P2 ) , ( P 3) đôi một vuông góc với nhau sao
cho mặt phẳng ( P1 ) vuông góc với hướng nhìn từ
phía trước của hình H , mặt phẳng ( P2 ) vuông góc
với hướng nhìn từ phía trên của hình H và mặt
phẳng ( P3 ) vuông góc với hướng nhìn từ phía trái
của hình H (H.3.6). Khi đó:
+ Các mặt phẳng ( P1 ) , ( P2 ) và ( P3 ) lần lượt được
gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, mặt phẳng
hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu cạnh.
+ Các hình chiếu vuông góc của hình H lên các
- HS đọc, hiểu Ví dụ 2 và trình bày
lại đáp án vào vở cá nhân.

mặt phẳng ( P1 ) , ( P2 ) , ( P 3) lần lượt được gọi là hình
chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh
của hình H .

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

+ Đối với những HS gặp khó khăn Ví dụ 2: SGK – tr. 55
trong việc hình dung và quan sát Hướng dẫn giải: SGK – tr.55
hình, GV gợi ý:
Khi đứng trước vật thể thì những
mặt hoặc phần nào của vật thể
được nhìn thấy?
Đánh dấu hoặc tô màu các phần đó
và so sánh với các lựa chọn đã
cho.
- GV cho HS thực hiện Luyện tập
2 theo nhóm đôi và chỉ ra các hình
chiếu vuông góc của hình 3.8a).
+ Sau thảo luận, GV mời 1 HS nêu Luyện tập 2
đáp án và giải thích.

+ Hình chiếu đứng:
+ Hình chiếu bằng: Không có

- HS thực hiện nghiên cứu và tìm + Hình chiếu cạnh:
hiểu Ví dụ 3 theo hướng dẫn của + Hình d) không là hình chiếu vuông góc nào
GV:
của vật thể.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

+ Để xác định hình chiếu đứng của Ví dụ 3: SGK – tr.55
hình chóp S . ABCD có thể chọn ( P1 ) Hướng dẫn giải: SGK – tr. 55+56.
trùng với ( SAC ) mà không làm thay
đổi hình chiếu đứng.
+ Hình chiếu của hai điểm B và D
trùng với điểm O (vì BO và DO
cùng vuông góc với mặt phẳng
( SAC )).

+ Tương tự với hình chiếu bằng.
- GV yêu cầu HS thực hiện cá nhân
Luyện tập 3 và chỉ định 2 HS lên
bảng trình bày lời giải của mình.

Luyện tập 3

+ GV quan sát, nhận xét và chốt
đáp án.

Vì đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng
(SAC ) nên cũng vuông góc với mặt phẳng hình

chiếu đứng (P1 ). Do đó hình chiếu đứng của ba
điểm B ,O , D trùng nhau.
Do vậy hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của
- GV yêu cầu HS nhắc lại một số
tính chất của hình chiếu song song
và hình chiếu vuông góc? Các tính
chất này còn đúng với hình chiếu
đứng, hình chiếu bằng và hình
chiếu cạnh không?

- GV cho HS đọc yêu cầu của Câu

hình chóp S . ABCD trong trường hợp này lần
lượt được vẽ như hình trên.
Nhận xét
Các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình
chiếu cạnh có các tính chất của hình chiếu
vuông góc.
+ Ví dụ như hình chiếu của trung điểm là trung
điểm, hình chiếu của các đường thẳng song song

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

hỏi và mời 1 HS đứng tại chỗ trả là các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
lời.
Câu hỏi
Hình chiếu đứng B' của B trùng với hình chiếu
- GV hướng dẫn, gợi ý cho HS thực đứng O ' của O , và O là trung điểm của AC nên
hiện được Vận dụng 1.

O ' (và do đó B' ) là trung điểm của A ' C ' .

+ GV nhắc lại khái niệm phương Vận dụng 1
pháp chiếu góc thứ nhất và thứ ba.
+ Từ đó GV gới ý hoặc giải thích
hình chiếu nhận được trong hai hai
phương phép chiếu là như nhau.

Hình chiếu đứng (hay hình chiếu bằng và hình
chiếu canh) trong hai phương pháp chiếu đều là
hình chiếu của hình ban đầu theo cùng một
phương chiếu và lên hai mặt phẳng chiếu song
- GV nêu phần Chú ý.

song. Do đó các hình chiếu nhận được trong hai
hai phương phép chiếu là như nhau.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Chú ý

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, Do hình chiếu nhận được qua phương pháp
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các chiếu góc thứ nhất và thứ ba là như nhau nên để
yêu cầu, thảo luận nhóm.

thuận tiện người ta thường chỉ xét phương pháp

- GV quan sát hỗ trợ.

chiếu góc thứ nhất.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

a) Mục tiêu:
- Nắm được cách xác định một vật thể trong không gian khi biết hình chiếu của nó.
- Nắm được cách xác định chính xác một điểm trong mặt phẳng ( P ).
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các HĐ3, 4; Luyện tập 4, 5; Vận dụng 2; đọc và giải thích các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi.
HS nắm được mối liên hệ giữa ba hình chiếu vuông góc.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
3. Mối liên hệ giữa ba hình chiếu vuông góc.

- GV triển khai HĐ3 và hướng dẫn HĐ3
cho HS thực hiện các yêu cầu của a) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A1 , A 2 (và
HĐ.

A ) trên Ox thì A1 A 2 vuông góc với Ox tại M ;

+ ý a) Trên Ox gọi M là hình chiếu A1 M = A A 2 và A2 M = A A 1.
vuông góc của A1 và A2 và A

Ngoài ra A1 , A 2 nằm về hai phía của Ox (do ta chỉ

+ Khi đó hãy so sánh: độ dài của xét phương pháp chiếu góc thứ nhất).
A1 M và A A2; A2 M và A A1; A1 A 2

có vuông góc với Ox không?

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

+ ý b) GV cho HS quan sát hình a)
và mô tả khi quay mặt phẳng ( P2 )
ra phía trước đến khi vuông góc
với ( P1 ) khi đó đường thẳng qua A1
và vuông góc với ( P1 ) và đường
thẳng qua A2 vuông góc với ( P2 ) cắt b) Để nhận biết được điểm A , quay mặt phẳng
nhau tại A .

( P2 ) đến khi vuông góc với ( P1 ) và ( P2 ) ở “phía

- GV trình chiếu hoặc ghi bảng trước” ( P1 ). Khi đó đường thẳng qua A1 và vuông
kiến thức trong khung kiến thức góc với ( P1 ) và đường thẳng qua A2 vuông góc
trọng tâm cho HS.

với ( P2 ) cắt nhau tại A .

- GV gợi ý cho HS sử dụng tính Ghi nhớ
chất đường thẳng A1 A 2 vuông góc Một điểm trong không gian hoàn toàn được xác
với Ox để xác định được đáp án định nếu biết hai hình chiếu của điểm đó. Vì vậy,
đúng trong Ví dụ 4.

một vật thể hoàn toàn được xác định nếu biết hai

- HS thực hiện Luyện tập 4 với hình chiếu của mỗi điểm thuộc vật thể đó.
bạn cùng bàn.
Ví dụ 4: SGK – tr.57
+ Sau thảo luận, GV chỉ định 1 HS Hướng dẫn giải: SGK – tr.57
trình bày đáp án và giải thích.
+ Các HS còn lại nhận xét câu trả
lời.
+ GV chốt đáp án và lưu ý cho HS:
Ngoài việc sử dụng tính chất A1 A 2
vuông góc với Ox , ta còn cần sử
dụng thêm tính chất A1 , A 2 nằm về
hai phía của Ox .

- GV triển khai HĐ4 và cho HS
thực hiện yêu cầu.

Luyện tập 4
Hình thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình
chiếu bằng của điểm A trong không gian là:

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512
+ ý a) Để chứng minh A1 A 3 vuông

góc với Oz , HS xem lại HĐ3 và
nêu lại cách thực hiện.
→

HS nhận thấy được hình

A1 A A 3 P . M A2 NO là hình hộp chữ

nhật. Từ đó sẽ chứng minh được:
Khoảng cách từ A3 đến Oz bằng HĐ4
khoảng cách từ A2 đến Ox .
+ ý b) HS nêu cách xác định điểm
A3 khi biết hai điểm A1 và A2.

- Từ kết quả của HĐ, GV trình a) Kí hiệu các điểm M , N , P như trong Hình
chiếu hoặc ghi bảng nọi dung trong 3.14a
khung kiến thức trọng tâm cho HS. khi đó đường thẳng A A vuông góc với Oz tại P,
1 3
khoảng cách từ A3 đến Oz bằng A3 P=NO= A2 M
- GV cho HS thực hiện tìm hiểu Ví và do đó bằng khoảng cách từ A2 đến Ox .
dụ 5 theo hướng dẫn của SGK.

b) Qua A1 vẽ đường thẳng vuông góc với Oz tại

+ GV nhấn mạnh: Để xác định P. Trên tia đối của tia P A 1 lấy điểm A3 sao cho
hình chiếu của một đoạn thẳng thì P A 3 bằng khoảng cách từ A2 đến Ox . Điểm A3
chỉ cần xác định hình chiếu của xác định và duy nhất.
hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Ghi nhớ

- GV yêu cầu HS thực hiện cá Trong mặt phẳng ( P1 ), một trong ba điểm
nhân phần Luyện tập 5
A1 , A 2 , A3 hoàn toàn được xác định nếu biết hai
+ Sau đó GV chỉ định 2 HS lên điểm còn lại.
bảng thực hiện giải bài toán.

Ví dụ 5: SGK – tr.58

+ HS dưới lớp quan sát, nhận xét Hướng dẫn giải: SGK – tr.58
hai bài làm của bạn.
+ GV chữa bài chi tiết và chốt đáp
án.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

Luyện tập 5

Hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB có hai đầu
mút là hình chiếu bằng A2 của A và hình chiếu
bằng B2 của B.
Để xác định A2 ta làm như sau:
+ Qua điểm A❑3 vẽ đường thẳng vuông góc với
Ox tại D và trên tia đối của tia Oz lấy điểm F sao

cho OD=OF .
+ Vẽ đường thẳng qua A1vuông góc với Ox , vẽ
đường thẳng qua F vuông góc với Oz , hai đường
thẳng này cắt nhau tại A2.
- Tương tự xác định B2 .
+ Nối A2và B2ta nhận được hình chiếu bằng của
đoạn thẳng AB.

- HS thảo luận nhóm 3 – 4 HS thực
hiện Vận dụng 2
+ Các nhóm thảo luận đưa ra ý
kiến cuối cùng.
+ GV chỉ định một số HS nêu đáp

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

án của nhóm mình.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các
yêu cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ

Vận dụng 2
Theo khung kiến thức sau HĐ4, đối với các vật
thể đơn giản thì từ hai hình chiếu của vật thể đó
ta có thể xác định được hình chiếu còn lại của
vật thể. Vì vậy một số bản vẽ kĩ thuật chỉ thể
hiện hai hình chiếu vuông góc của vật thể mà
không thể hiện cả ba hình chiếu.

vào vở.

a) Mục tiêu:
- Nắm được khái niệm hình chiếu song song của một hình H lên mặt phẳng ( P ).
- Nắm được các khái niệm, tính chất của hình chiếu trục đo; hệ số biến dạng.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các HĐ5, 6; Luyện tập 6, 7; Vận dụng 3; đọc và giải thích các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi.
HS nắm được khái niệm hình chiếu song song của một hình H lên mặt phẳng ( P ); khái
niệm, tính chất của hình chiếu trục đo; hệ số biến dạng.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

4. Hình chiếu trục đo.

- GV triển khai HĐ5 và cho HS HĐ5
quan sát hình 3.17.
+ GV yêu cầu HS nhắc lại khái
niệm của hình chiếu đứng, hình
chiếu bằng và hình chiếu cạnh.
+ GV chỉ định 2 HS trả lời ý a) và
b).

a) Hình H ' không là hình chiếu đứng, hình chiếu
bằng hay hình chiếu cạnh.
b) Đường thẳng l không song song với mặt nào
của hình H
→ GV nhận xét và giảng giải về

Khái niệm

H
Khái niệm hình chiếu trục đo của Hình chiếu song song của một hình lên mặt
phẳng ( P ) theo phương l không song song với bề
một vật thể.

mặt nào của hình H được gọi là hình chiếu trục
đo của H .

- GV cho HS suy nghĩ, thảo luận
theo nhóm đôi, thực hiện phần Câu
hỏi.
+ Sau đó GV chỉ định một số HS
trả lời đáp án
+ GV giải thích thông qua HĐ5:
Khi sử dụng cả nét đứt thì ta có thể
thấy được cả 6 mặt của hình hộp
đó.
- GV nhấn mạnh với HS rằng sẽ
thật dễ hiểu khi các hình biểu diễn

Câu hỏi
Do hình chiếu trục đo của H là hình chiếu của H
qua một phép chiếu song song, theo phương
chiếu không song song với các mặt của hình H .
Do vậy hình chiếu trục đo của H biểu thị được
tất cả các mặt của H (Một số mặt bị khuất, tuy
nhiên nếu sử dụng nét đứt thì tất cả các mặt của
hình sẽ được thể hiện trên hình chiếu trục đo).
Nhận xét
Hình chiếu trục đo giúp người xem hình dung
vật thể rõ ràng hơn. Trên thực tế, hầu hết các

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

mà ta thường gặp đều là hình chiếu hình biểu diễn có tính lập thể đều là hình chiếu
trục đo (vì chúng cho ta “ba chiều” trục đo.
của hình được biểu diễn).

- GV cho HS thực hiện đọc - hiểu Ví dụ 6: SGK – tr.60
Ví dụ 6 theo hướng dẫn của SGK Hướng dẫn giải: SGK – tr.60
và trình bày lại đáp án.

- GV cho HS thực hiện thảo luận
nhóm đôi để trả lời yêu cầu của
Luyện tập 6.

Luyện tập 6
Hình 3.20 c.

+ Sau thảo luận, GV chỉ định 1 HS
trả lời yêu cầu.
- GV gợi ý cho HS thực hiện được
Vận dụng 3
+ GV nhắc lại: HÌnh chiếu trục đo

Vận dụng 3
Các phần quan sát được của hình lập phương có
tạo thành hình chiếu trục đo của nó.

thể hiện được nhiều mặt của vật Vì đây là hình chiếu song song của hình lập
thể, và trong trường hợp của hình phương lên một mặt phẳng nào đó theo phương
lập phương, số mặt tối đa có thể từ mắt ta qua vật thể rồi đến mặt phẳng không
song song với bề mặt nào của hình lập phương. 
quan sát được là 3.
+ HS kết hợp với Ví dụ 6 đã trình
bày ở trên để suy ra được các phần
quan sát được của hình lập phương
tạo thành hình chiếu trục đo của
hình đó.
- GV triển khai HĐ6 và cho HS
quan sát hình 3.21.
+ GV yêu cầu HS nhắc lại các tính
chất của phép chiếu song song
Ví dụ như: Phép chiếu song song

HĐ6

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng, phép chiếu song
song bảo toàn tỉ số độ dài đoạn
thẳng
+ GV yêu cầu HS đứng tại chỗ trả
lời ý a) và ý b).

→ GV chính xác hóa đáp án và

trình chiếu phần kiến thức trong
khung kiến thức trọng tâm cho HS.

xOy , ^
yOz , ^
zOx lần lượt
a) Hình chiếu của các góc ^
' ' '
' ' '
' ' '
là ^
x O y ,^
y O z ,^
zO x.

b) Hai tỉ số

'

'

'

'

OM
ON
và
bằng nhau.
OM
ON

Ghi nhớ
Cho hình H và các trục Ox , Oy , Oz đôi một
vuông góc được đặt dọc theo ba chiều của hình
H.

+ Hình chiếu O' x ' ,O' y' , O' z ' của các trục
Ox , Oy , Oz được gọi là các trục đo.
' ' ' ^
' ' ' ^
' ' '
^
- GV giảng giải về hệ số biến dạng + Các góc x O y , y O z , z O x được gọi là các
góc trục đo.
theo trục O' x ' ; O ' y ' và O' z ' .

+ Hệ số biến dạng theo mỗi trục là tỉ số độ dài
hình chiếu của mỗi đoạn thẳng nằm trên trục đó
hoặc song song với trục đó với độ dài thực tế
của đoạn thẳng đó.
Chú ý
- Hình 3.21, các tỉ số p=
'

'

O' A '
O ' B'
; q=
và
OA
OB

- HS thực hiện đọc – hiểu Ví dụ 7 r = O C lần lượt được gọi là hệ số biến dạng
OC
và trình bày lại kết quả vào vở cá
theo trục O' x ' ;O ' y ' và O ' z ' .
nhân.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

- HS thực hiện cá nhân Luyện tập - Hệ số biến dạng trên mỗi trục đo phụ thuộc
7

vào vị trí tương đối của mỗi trục với mặt phẳng

+ Sau đó GV chỉ định 2 HS lên chiếu và phụ thuộc vào phương chiếu.
bảng thực hiện bài giải.

Ví dụ 7: SGK – tr.62

+ HS dưới lớp quan sát và nhận xét Hướng dẫn giải: SGK – tr.62
bài làm của bạn.

Luyện tập 7

+ GV chữa bài chi tiết và chốt đáp
án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các Hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và
yêu cầu, thảo luận nhóm.

chiều cao lần lượt là 5 cm; 6 cm và 4 cm.

- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV triền khai và hướng dẫn cách
chi tiết đơn giản hóa vấn đề trong

HĐ7

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

HĐ7 cho HS tiếp thu được nội dung
truyền tải.

a) HS chứng minh ∆ OAB=∆OBC để
suy ra AB=BC và BC=CA . Từ đó
suy ra được ∆ ABC đều.

a) ∆ OAB và ∆ OBC vuông cân có chung cạnh
góc vuông OB nên ∆ OAB=∆OBC .
Suy ra AB=BC .

b) HS chứng minh ∆ OA A' =∆ OBB '
để suy ra

A A =BB' ,
'

Tương tự BC=CA nên ∆ ABC là tam giác đều.

'
tương tự b) ∆ OA A =∆ OBB ' (cạnh huyền – góc nhọn)

'
B B =CC ' để suy ra ( ABC )//( P ) .

Do đó A A' =BB' .

'
c) Chứng minh OI ⊥ ( ABC ) ⊥ ( P ) . Vậy Tương tự B B =CC ' => ( ABC ) // ( P ).

AIB . A ' O ' B ' là hình gì?

c) Vì I là tâm ∆ ABC nên có thể chứng minh

OI vuông góc với ( ABC ) và do đó vuông
'
' '
Từ đó suy ra số đo ^
A O B và tương được
góc với ( P ). Khi đó AIB . A ' O ' B ' là hình lăng
tự với các góc còn lại.

trụ đứng.
'
' '
o
=> ^
A O B =^
AIB=120 .

Tương
- GV giải thích rằng H.3.23a thể hiện

tự

ta

chứng

minh

được:

' ' '
'
' '
o
^
B O C =^
A O C =120 .

tất cả các đặc trưng của hình chiếu Ghi nhớ
trục đo vuông góc đều. Trong trường Trong hình chiếu trục đo vuông góc đều có:
hợp tổng quát, mặt phẳng ( P ) không + Mặt phẳng chiếu ( P ) vuông góc với phương
nhất thiết phải đi qua O . Tuy nhiên chiếu l
các tính chất vừa chứng minh vẫn + Các góc trục đo đều bằng 120o (H.3.23b)
đúng trong trường hợp đó.
+ Các hệ số biến dạng đều bằng 1.
→ GV phát biểu định nghĩa về hình
chiếu trục đo như trong SGK.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

- GV triển khai phần Câu hỏi và
phân tích hình ảnh về mô hình phòng
khách trong SGK và chỉ cho HS thấy
ba trục đo đôi một tạo với nhau góc

Câu hỏi

o
120 .

→ Từ đó HS biết được phương pháp

xác định một hình cho trước có phải
là hình chiếu trục đo vuông góc đều
hay không.

- GV giảng: Hệ số biến dạng trrn
mỗi trục đều bằng côsin của góc tạo
bởi mỗi trục với mặt phẳng chiếu.
Để thuận tiện người ta quy ước hệ số
biến dạng bằng 1.

Hình màu cam trong Hình 3.1 là hình chiếu
trục đo vuông góc đều của vật thể.
Nhận xét
Ở HĐ7, ta có thể chứng minh được
O A' O B ' O C ' √ 6
=
=
= ≈ 0,82.
OA OB OC
3

Để thuận tiện cho việc tính toán và vẽ hình, ta
- HS thực hiện Ví dụ 8 và trình bày thường quy ước các hệ số biến dạng bằng 1.
lại cách thực hiện theo gợi ý trong Ví dụ 8: SGK – tr.63
SGK.

+ HS cần chú ý tới hai yếu tố: Góc
giữa các trục đo và hệ số iến dạng
trên mỗi trục. Tuy nhiên để phân biệt
hai loại hình chiếu trục đo HS chỉ
cần quan tâm đến một trong hai yếu
tố trên.
- GV cho HS thảo luận nhóm đôi với

Hướng dẫn giải: SGK – tr.64

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

bạn cùng bàn thực hiện Luyện tập 8
+ GV đặt câu hỏi: Đoạn thẳng nào Luyện tập 8
trên hình chiếu trục đo thể hiện
chiều cao của hình hộp chữ nhật?
Độ dài của đoạn thẳng đó là bao
nhiêu?
+ GV chỉ định 2 HS đứng tại chỗ
trình bày đáp án.

Hình chữ nhật có các kích thước là 3 cm, 2 cm,

- HS tự thực hiện Vận dụng 4 theo 4 cm.
mẫu đã hướng dẫn trong SGK.
Vận dụng 4
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu
cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

3. Hoạt động 3: Luyện tập

a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 3.1; 3.3; 3.7, 3.8; 3.9
(SGK – tr.64+65).
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện bài tập 3.1; 3.3; 3.7, 3.8; 3.9 (SGK –
tr.64+65).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn
thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài
trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Kết quả:
3.1.
Khẳng định a) và b).
3.3.
Bổ sung thêm nét ở các hình như sau:
3.7.
Hình c)

3.8.
Hình a)

Giáo án CĐ Toán 11 KNTT soạn theo công văn 5512

3.9.

p=

'

'

'

'

'

'

O A
OB 1
OC 2
=1 , q=
= và r =
=
OA
OB 3
OC 3