§Ò c­¬ng «n tËp to¸n 8
§¹i sè
1/ Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2
c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5)
d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5)
e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4)
2/ Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3
c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
3/ Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x,y
A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 - 1)
C = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1)
4/ Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x2 - y2 - 2x + 2y b)2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d)x2 - 25 + y2 + 2xy
e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f)x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h)x2(x-1) + 16(1- x)
n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m)xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12
l) 81x2 + 4
5/ T×m x biÕt:
a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 b) 5x(x-1) = x-1 c) 2(x+5) - x2-5x = 0 d) (2x-3)2-(x+5)2=0
e) 3x3 - 48x = 0 f) x3 + x2 - 4x = 4
6/ Chøng minh r»ng biÓu thøc:
A = x(x - 6) + 10 lu«n lu«n d­¬ng víi mäi x.
B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3
7/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A,B,C vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D,E:
A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)
D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1
8/ X¸c ®Þnh a ®Ó ®a thøc: x3 + x2 + a - x chia hÕt cho(x + 1)2
9/ Cho c¸c ph©n thøc sau:
A = B =
C = D = E = F =
a) Víi ®IÒu kiÖn nµo cña x th× gi¸ trÞ cña c¸c ph©n thøc trªn x¸c ®Þnh.
b)T×m x ®Ó gi¸ trÞ cña c¸c pthøc trªn b»ng 0.
c)Rót gän ph©n thøc trªn.
10) Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
a) + b) c) + +
d)
11/ Chøng minh r»ng:
52005 + 52003 chia hÕt cho 13
b) a2 + b2 + 1  ab + a + b
Cho a + b + c = 0. chøng minh:
a3 + b3 + c3 = 3abc
12/ a) T×m gi¸ trÞ cña a,b biÕt:
a2 - 2a + 6b + b2 = -10
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc;
A =nÕu
13/ Rót gän biÓu thøc:
A = :
14) Chøng minh ®¼ng thøc:
:
15 : Cho biÓu thøc :

a) Rót gän A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x tho¶ m·n: 2x2 + x = 0
c) T×m x ®Ó A=
d) T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn d­¬ng.
16. Cho biÓu thøc :

a) Rót gän B.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B t¹i x tho¶ m·n: 2x + 1 = 5
c) T×m x ®Ó B =
d) T×m x ®Ó B < 0.
17: T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó ph©n thøc M cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn:

18.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
b) 3 – 4x(25 – 2x) = 8x2 + x – 300

19.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0
b) (x2 – 4) – (x – 2)(3 – 2x) = 0 e) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x
c) (2x + 5)2 = (x + 2)2
20.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:



21.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) x - 5 = 3 d) 3x - 1 - x = 2
b) - 5x = 3x – 16 e) 8 - x = x2 + x
c) x - 4 = -3x + 5
22.Gi¶i c¸c bÊt ph­¬ng tr×nh sau råi biÓu diÔn tËp nghiÖm trªn trôc sè:
a) (x – 3)2 < x2 – 5x + 4 f) x2 – 4x + 3  0
b) (x – 3)(x + 3)  (x + 2)2 + 3 g) x3 – 2x2 + 3x – 6 < 0



23.Chøng minh r»ng:
a) a2 + b2 – 2ab  0 d) m2 + n2 + 2  2(m + n)
(víi a > 0, b > 0)
c) a(a + 2) < (a + 1)2
24.Cho m < n. H·y so s¸nh:
a) m + 5 vµ n + 5 c) – 3m + 1 vµ - 3n + 1
b) - 8 + 2m vµ - 8 + 2n
25.Cho a > b. H·y chøng minh:
a) a + 2 > b + 2 c) 3a + 5 > 3b + 2
b) - 2a – 5 < - 2b – 5 d) 2 – 4a < 3 – 4b
26.Lóc 7 giê s¸ng, mét ng­êi ®i xe ®¹p khëi hµnh tõ A víi vËn tèc 10km/h. Sau ®ã lóc 8 giê 40 phót, mét ng­êi kh¸c ®i xe m¸y tõ A ®uæi theo víi vËn tèc 30km/h. Hái hai ng­êi gÆp nhau lóc mÊy giê.
27.Hai ng­êi ®i bé khëi hµnh ë hai ®Þa ®iÓm c¸ch nhau 4,18 km ®i ng­îc chiÒu nhau ®Ó gÆp nhau. Ng­êi thø nhÊt mçi giê ®i ®­îc 5,7 km. Ng­êi thø hai mçi giê ®i ®­îc 6,3 km nh­ng xuÊt ph¸t sau ng­êi thø nhÊt 4 phót. Hái ng­êi thø hai ®i trong bao l©u th× gÆp ng­êi thø nhÊt.
28.Lóc 6 giê, mét «t« xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung b×nh 40km/h. Khi ®Õn B, ng­êi l¸i xe lµm nhiÖm vô giao nhËn hµng trong 30 phót råi cho xe quay trë vÒ A víi vËn tèc trung b×nh 30km/h. TÝnh qu·ng ®­êng AB biÕt r»ng «t« vÒ ®Õn A lóc 10 giê cïng ngµy.
29.Hai xe m¸y khëi hµnh lóc 7 giê s¸ng tõ A ®Ó ®Õn B. Xe m¸y thø nhÊt ch¹y víi vËn tèc 30km/h, xe m¸y thø hai ch¹y víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña xe m¸y thø nhÊt lµ 6km/h. Trªn ®­êng ®i xe thø hai dõng l¹i nghØ 40 phót råi l¹i tiÕp tôc ch¹y víi vËn tèc cò. TÝnh chiÒu dµi qu·ng ®­êng AB, biÕt c¶ hai xe ®Õn B cïng lóc.
30.Mét can« tuÇn tra ®i xu«i dßng tõ A ®Õn B hÕt 1 giê 20 phót vµ ng­îc dßng tõ B vÒ A hÕt 2 giê. TÝnh vËn tèc riªng cña can«, biÕt vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h.
31.Mét tæ may ¸o theo kÕ ho¹ch mçi ngµy ph¶i may 30 ¸o. Nhê c¶i tiÕn kÜ thuËt, tæ ®· may ®­îc mçi ngµy 40 ¸o nªn ®· hoµn thµnh tr­íc thêi h¹n 3 ngµy ngoµi ra cßn may thªm ®­îc 20 chiÕc ¸o n÷a. TÝnh sè ¸o mµ tæ ®ã ph¶i may theo kÕ ho¹ch.
32.Hai c«ng nh©n nÕu lµm chung th× trong 12 giê sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc. Hä lµm chung trong 4 giê th× ng­êi thø nhÊt chuyÓn ®i lµm viÖc kh¸c, ng­êi thø hai lµm nèt c«ng viÖc trong 10 giê. Hái ng­êi thø hai lµm mét m×nh th× bao l©u hoµn thµnh c«ng viÖc.
33.Mét tæ s¶n xuÊt dù ®Þnh hoµn thµnh c«ng viÖc trong 10 ngµy. Thêi gian ®Çu, hä lµm mçi ngµy 120 s¶n phÈm. Sau khi lµm ®­îc mét nöa sè s¶n phÈm ®­îc giao, nhê hîp lý ho¸ mét sè thao t¸c, mçi ngµy hä lµm thªm ®­îc 30 s¶n phÈm n÷a so víi mçi ngµy tr­íc ®ã. TÝnh sè s¶n phÈm mµ tæ s¶n xuÊt ®­îc giao.
34.Hai tæ s¶n xuÊt cïng lµm chung c«ng viÖc th× hoµn thµnh trong 2 giê. Hái nÕu lµm riªng mét m×nh th× mçi tæ ph¶i hÕt bao nhiªu thêi gian míi hoµn thµnh c«ng viÖc, biÕt khi lµm riªng tæ 1 hoµn thµnh sím h¬n tæ 2 lµ 3 giê.
H×nh häc
1/ Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã BC = 2AB vµ gãc A = 600. Gäi E,F theo thø tù lµ trung ®IÓm cña BC vµ AD.
Tø gi¸c ECDF lµ h×nh g×?
Tø gi¸c ABED lµ h×nh g×? V× sao ?
TÝnh sè ®o cña gãc AED.
2/ Cho ABC. Gäi M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC,AC. Gäi H lµ ®iÓm ®èi xøng cña N qua M.
a) C/m tø gi¸c BNCH vµ ABHN lµ hbh.
b) ABC tháa m·n ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c BCNH lµ h×nh ch÷ nhËt.
3/ Cho tø gi¸c ABCD. Gäi O lµ giao ®iÓm cña 2 ®­êng chÐo ( kh«ng vu«ng gãc),I vµ K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC vµ CD. Gäi M vµ N theo thø tù lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm O qua t©m I vµ K.
a) C/mr»ng tø gi¸c BMND lµ h×nh b×nh hµnh.
b) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña hai ®­êng chÐo AC vµ BD th× tø gi¸c BMND lµ h×nh ch÷ nhËt.
c) Chøng minh 3 ®iÓm M,C,N th¼ng hµng.
4/ Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC. §­êng chÐo AC c¾t c¸c ®o¹n th¼ng BE vµ DF theo thø tù t¹i P vµ Q.
a) C/m tø gi¸c BEDF lµ h×nh b×nh hµnh.
b) Chøng minh AP = PQ = QC.
c) Gäi R lµ trung ®iÓm cña BP. Chøng minh tø gi¸c ARQE lµ h×nh b×nh hµnh.
5/ Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M,N,P,Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB,BC,CD,DA.
a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? V× sao?
b) T×m ®iÒu kiÖn cña tø gi¸c ABCD ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng?
c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b) h·y tÝnh tØ sè diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD vµ MNPQ
6/ Cho ABC,c¸c ®­êng cao BH vµ CK c¾t nhau t¹i E. Qua B kÎ ®­êng th¼ng Bx vu«ng gãc víi AB. Qua C kÎ ®­êng th¼ng Cy vu«ng gãc víi AC. Hai ®­êng th¼ng Bx vµ Cy c¾t nhau t¹i D.
a) C/m tø gi¸c BDCE lµ h×nh b×nh hµnh.
b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh M còng lµ trung ®iÓm cña ED.
c) ABC ph¶i tháa m·n ®/kiÖn g× th× DE ®i qua A
7/ Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD),E lµ trung ®iÓm cña AB.
a) C/m  EDC c©n
b) Gäi I,K,M theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC,CD,DA. Tg EIKM lµ h×nh g×? V× sao?
c) TÝnh S ABCD,SEIKM biÕt EK = 4,IM = 6.
8/ Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. E,F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD.
a) Tø gi¸c DEBF lµ h×nh g×? V× sao?
b) C/m 3 ®­êng th¼ng AC,BD,EF ®ång qui.
c) Gäi giao ®iÓm cña AC víi DE vµ BF theo thø tù lµ M vµ N. Chøng minh tø gi¸c EMFN lµ h×nh b×nh hµnh.
d) TÝnh SEMFN khi biÕt AC = a,BC = b.
9.Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) ,mét ®­êng th¼ng song song víi 2 ®¸y, c¾t c¸c c¹nh AD,BC ë M vµ N sao cho MD = 2MA.
a.TÝnh tØ sè .
b.Cho AB = 8cm, CD = 17cm.TÝnh MN?
10.Cho h×nh thang ABCD(AB//CD).M lµ trung ®iÓm cña CD.Gäi I lµ giao ®iÓm cña AM vµ BD, gäi K lµ giao ®iÓm cña BM vµ AC.
a.Chøng minh IK // AB
b.§­êng th¼ng IK c¾t AD, BC theo thø tù ë E vµ F.Chøng minh: EI = IK = KF.
11.Tam gi¸c ABC cã AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm.Gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng ph©n gi¸c , G lµ träng t©m cña tam gi¸c.
a.Chøng minh: IG//BC
b.TÝnh ®é dµi IG
12.Cho h×nh thoi ABCD.Qua C kÎ ®­êng th¼ng d c¾t c¸c tia ®èi cña tia BA vµ CA theo thø tù E, F.Chøng minh:
a.
b.
c.=1200( I lµ giao ®iÓm cña DE vµ BF)
13..Cho tam gi¸c ABC vµ c¸c ®­êng cao BD, CE.
a,Chøng minh:
b.TÝnh biÕt = 480.
14.Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH, BC = 20cm, AH = 8cm.Gäi D lµ h×nh chiÕu cña H trªn AC, E lµ h×nh chiÕu cña H trªn AB.
a.Chøng minh tam gi¸c ADE ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC.
b.TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ADE
15.Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, AB = 15cm, AC = 20cm, ®­êng ph©n gi¸c BD.
a.TÝnh ®é dµi AD?
b.Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn BC. TÝnh ®é dµi AH, HB?
c.Chøng minh tam gi¸c AID lµ tam gi¸c c©n.
16.Tam gi¸c ABC c©n t¹i A, BC = 120cm, AB = 100cm.C¸c ®­êng cao AD vµ BE gÆp nhau ë H.
a.T×m c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng víi tam gi¸c BDH.
b.TÝnh ®é dµi HD, BH
c.TÝnh ®é dµi HE
17.Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®­êng cao BD, CE c¾t nhau ë H.Gäi K lµ h×nh chiÕu cña H trªn BC.Chøng minh r»ng:
a.BH.BD = BK.BC
b.CH.CE = CK.CB
18.Cho h×nh thang c©n MNPQ (MN //PQ, MN < PQ), NP = 15cm, ®­êng cao NI = 12cm, QI = 16 cm.
a) TÝnh IP.
b) Chøng minh: QN  NP.
c) TÝnh diÖn tÝch h×nh thang MNPQ.
d) Gäi E lµ trung ®iÓm cña PQ. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi EN t¹i N c¾t ®­êng th¼ng PQ t¹i K. Chøng minh: KN2 = KP . KQ
19.Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹o A; AB = 15cm, AC = 20cm, ®­êng cao AH.
a) Chøng minh: HBA ®ång d¹ng víi ABC.
b) TÝnh BC, AH.
c) Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua H. VÏ h×nh b×nh hµnh ADCE. Tø gi¸c ABCE lµ h×nh g×? T¹i sao?
d) TÝnh AE.
e) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABCE.
20.Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AB < AC), ®­êng cao AH. Tõ B kÎ tia Bx  AB, tia Bx c¾t tia AH t¹i K.
a) Tø gi¸c ABKC lµ h×nh g× ? T¹i sao?
b) Chøng minh: ABK ®ång d¹ng víi CHA. Tõ ®ã suy ra: AB . AC = AK . CH
c) Chøng minh: AH2 = HB . HC
d) Gi¶ sö BH = 9cm, HC = 16cm. TÝnh AB, AH.
21.Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän. §­êng cao AF, BE c¾t nhau t¹i H. Tõ A kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC, tõ B kÎ tia By vu«ng gãc víi BC. Tia Ax vµ By c¾t nhau t¹i K.
a) Tø gi¸c AHBK lµ h×nh g×? T¹i sao?
b) Chøng minh: HAE ®ång d¹ng víi HBF.
c) Chøng minh: CE . CA = CF . CB
d) ABC cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× ®Ó tø gi¸c AHBK lµ h×nh thoi.
22.Cho tam gi¸c ABC, AB = 4cm, AC = 5cm. Tõ trung ®iÓm M cña AB vÏ mét tia Mx c¾t AC t¹i N sao cho gãcAMN = gãcACB.
a) Chøng minh: ABC ®ång d¹ng víi ANM.
b) TÝnh NC.
c) Tõ C kÎ mét ®­êng th¼ng song song víi AB c¾t MN t¹i K. TÝnh tØ sè .
23.Cho ABC cã AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm D sao cho AD = 5cm.
a) Chøng minh: ABC ®ång d¹ng víi CBD.
b) TÝnh CD.
c) Chøng minh: gãcBAC = 2.gãcACD
24.Cho tam gi¸c vu«ng ABC (gãcA = 90o), ®­êng cao AH.
BiÕt BH = 4cm, CH = 9cm.
a) Chøng minh: AB2 = BH . BC
b) TÝnh AB, AC.
c) §­êng ph©n gi¸c BD c¾t AH t¹i E (D  AC). TÝnh vµ chøng minh: .
25.Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm F. Tia AF c¾t BD vµ DC lÇn l­ît ë E vµ G. Chøng minh:
a) BEF ®ång d¹ng víi DEA.
DGE ®ång d¹ng víi BAE.
b) AE2 = EF . EG
c) BF . DG kh«ng ®æi khi F thay ®æi trªn c¹nh BC.
26.Cho ABC, vÏ ®­êng th¼ng song song víi BC c¾t AB ë D vµ c¾t AC ë E. Qua C kÎ tia Cx song song víi AB c¾t DE ë G.
a) Chøng minh: ABC ®ång d¹ng víi CEG.
b) Chøng minh: DA . EG = DB . DE
c) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BG. Chøng minh: HC2 = HE . HA
27.Cho ABC c©n t¹i A (gãc A < 90o). C¸c ®­êng cao AD vµ CE c¾t nhau t¹i H.
a) Chøng minh: BEC ®ång d¹ng víi BDA.
b) Chøng minh: DHC ®ång d¹ng víi DCA. Tõ ®ã suy ra: DC2 = DH . DA
c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm. TÝnh EC, HC.
28.Quan s¸t l¨ng trô ®øng tam gi¸c (h×nh 1) råi ®iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng trong b¶ng sau:
a (cm)
6
10
b (cm)
3

c (cm)
5
7
h (cm)
8

Chu vi ®¸y (cm)

22
Sxq (cm2)

88
29.H×nh l¨ng trô ®øng ABC.A'B'C' cã hai ®¸y ABC vµ A'B'C' lµ c¸c tam gi¸c vu«ng t¹i A vµ A' (h×nh 2).
TÝnh Sxq vµ thÓ tÝch cña h×nh l¨ng trô.
BiÕt: AB = 9cm, BC = 15cm, AA' = 10cm.