CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT
ÔN THI HOC SINH GIỎI LỚP 9
1. Phương pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết
Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho
( 45
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9.
Ví dụ 3: CMR số
( 81
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho
a.
( 4 và 9
b.
( 17
Bài 2: Cho số N =
CMR
a. N ( 4 ( (a + 2b) ( 4
b. N ( 16 ( (a + 2b + 4c + 8d) ( 16 với b chẵn
c. N ( 29 ( (d + 2c + 9b + 27a) ( 29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A = 192021…7980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Bài 6: Chứng tỏ rằng số

là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết
* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp
m + 1; m + 2; … m + n với m ( Z, n ( N*
Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2; … n - 1}
* Nếu tồn tại 1 số dư là 0: giả sử m + i = nqi ; i =

( m + i ( n
* Nếu không tồn tại số dư là 0 ( không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n ( phải có ít nhất 2 số dư trùng nhau.
Giả sử:

( i - j = n(qi - qj) ( n ( i - j ( n
mà (i - j(< n ( i - j = 0 ( i = j
( m + i = m + j
Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n…
Ví dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n ( 3 84 với ( n chẵn, n(4
Bài tập tương tự
Bài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) ( 6
b. n5 - 5n3 + 4n ( 120 Với ( n ( N
Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n ( 24 Với ( n ( Z
Bài 3: CMR: Với ( n lẻ thì
n2 + 4n + 3 ( 8
n3 + 3n2 - n - 3 ( 48
n12 - n8 - n4 + 1 ( 512
Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1 ( 24
Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
3. Phương pháp 3: xét tập hợp số dư trong phép chia
Ví dụ 1: CMR: Với ( n ( N
Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6
Ví dụ 2: CMR: Nếu n ( 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 ( 13 Với ( n ( N
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1 ( 7
Bài tập tương tự
Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) ( 5 Với (