Tìm kiếm Giáo án

Quảng cáo

Quảng cáo

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (04) 66 745 632
  • 0166 286 0000
  • contact@bachkim.vn

13 và 14

Nhấn vào đây để tải về
Hiển thị toàn màn hình
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Văn Dương
Ngày gửi: 23h:40' 19-06-2015
Dung lượng: 163.0 KB
Số lượt tải: 9
Số lượt thích: 0 người
13) Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a) 
b) [a, b, c] = 
Giải

a) + Các tính chất áp dụng: 1) (a, b, c) = ((a, b), c)
2) Nếu (a, c) = 1 thì (ab, c) = (b, c)
3) [a, b].(a, b) = a.b
4) [a, b, c] = [[a, b], c]
+ Bổ đề: Giả sử (a, n) = p và (b, n) = q. Chứng minh rằng: (ab, n) = (pq, n)
Thật vậy:
Ta có: (a, n) = p nên a = p.a1; n = p.n1 với (a1, n1) = 1
 (ab, n) = (pa1b, pn1) = p(a1b, n1) = p(b, n1) = (pb, n) (1)
Vì (b, n) = q nên b = q.b1 và n = q.n2 với (b1, n2) = 1
 (pb, n) = (pqb1, qn2) = q(pb1, n2) = q(p, n2) = (pq, n) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (ab, n) = (pq, n)
+ Ta quay lại bài toán 13a) Chứng minh rằng:  (a, b, c  N*)
Đặt (a, b, c) = ((a, b), c) = d  (a, b) = dk và c = d.c1 với (k, c1) = 1
Từ (a, b) = d.k  a = dka1 và b = dkb1 với (a1, b1) = 1
Từ đó ta cũng có: (a1, b1, c1) = ((a1, b1), c1) = (1, c1) = 1
VT = [a, b, c] = [[a, b], c] = (chú ý: [a, b] = )
=  (*) (do (k, c1) = 1)
VP =  (**)
Từ (*) và (**) ta chỉ cần chứng minh: 
Thật vậy:
Đặt (b1, c1) = p và (a1, c1) = q. Theo bổ đề: (a1b1, c1) = (pq, c1)
Giả sử (p, q) = t > 1. Suy ra: p = t.p1 và q = t.q1 với (p1, q1) = 1
Vì (b1, c1) = p và (a1, c1) = q nên . Do đó: 
  (vô lí)
 (p, q) = 1. Mà c1p, c1q nên c1  p.q  c1 = pq.c2
Từ đó: (a1b1, c1) = (pq, c1) = (pq, pqc2) = pq(1, c2) = pq = 
Vậy bài toán được chứng minh
b) Chứng minh rằng: [a, b, c] = 
VP = = VT (theo a)

14) Cho a1, a2,……., an là các số nguyên dương và n > 1.
Đặt A = , . Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 
b) 
Giải
a) Đặt 
 và an = d. với (M, ) = 1
Từ   với () = 1
VT = 
= 
= 
= 
=  = 
=  (vì )
= = A = VP
b) Đặt ,, ….,   
Đặt , ,……, 
Áp dụng câu a, ta có: 
=
 = 
  = A




 
Gửi ý kiến