  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

----------  ---------Nhằm đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng nâng cao và mở rộng các kiến thức môn
toán ở bậc THCS. Việc nghiên cứu, chọn lọc và trao đối với các em một số dạng
bài tập toán , cũng như các cách giải khác nhau cho một bài toán là cần thiết và bổ
ích. Vì thế, với niềm hy vọng của người giáo viên trực tiếp giảng dạy. Tôi xin trình
bày về một phương pháp thực hiện giảng dạy của mình là giúp học sinh giải các
bài toán bằng nhiều cách giải phong phú.
Nội dung cơ bản của đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Giúp học sinh giải
bằng nhiều cách các bài toán ”. xuyên suốt đề tài là các bài tập được lựa chọn đa
dạng về thể loại, phong phú về cách giải nhằm củng cố nhiều kiến thức, rèn luyện
các kỹ năng, phát triển năng lực tư duy linh hoạt, sáng tạo, phù hợp với các khả
năng tiếp thu của từng đối tượng học sinh đại trà.
Đề tài là một phần nhỏ trong chương trình giảng dạy, song phần nào phản
ảnh sự cố gắng của bản thân trong việc vận dụng để giảng dạy, làm nhẹ bớt nỗi lo
âu, trăn trở trước giờ lên lớp. Thực tế kết quả ghi nhận được xem như bản thân đã
thành công bước đầu, hy vọng Sáng kiến kinh nghiệm là tài liệu hữu ích.
Trong quá trình vận dụng kiến thức còn nhiều bất cập, nên chắc chắn nội
dung khó tránh khỏi thiếu sót nhất định. Mặc dù đã cố gắng nhiều rất mong nhận
được ý kiến đóng góp
Bản thân xin chân thành tiếp thu tất cả những ý kiến , chỉ dẫn, góp ý, bổ
sung của quí thầy cô, cùng các bạn đồng nghiệp trong ngành để bản thân tích luỹ
kinh nghiệm , nâng cao kiến thức cầu tiến bộ .
Nhơn Thành, ngày 20 tháng 04 năm 2012
Người viết

Đỗ Như

GV: Đỗ Như Phùng

-1-

Phùng

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Phần A :

GV: Đỗ Như Phùng

Năm học 2011 - 2012

MỞ ĐẦU
-2-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
I. Đặt vấn đề:
1) Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:
Toán học là môn thể thao của trí tuệ giúp cho người học nâng cao khả năng
tư duy, suy luận và vận dụng các kiến thức vào các môn học khác. Qua đó giúp
người học phát triển tư duy, suy nghĩ và hoàn thiện nhân cách của mình.
Do tác động hấp dẫn từ môi trường xã hội như trò chơi điện tử Games online
trên Internet phần đông các em ham chơi. Cộng với Cha mẹ ít quan tâm vì phải “
xa phương cầu thực ” gửi con cho Ông-bà, hạn chế việc chăm sóc nhắc nhở dẫn
đến học yếu rồi bỏ bê việc học tập . Vậy, muốn tạo sự hấp dẫn trong học tập là
phải giúp các em tiếp thu được kiến thức, làm được bài tập và tự tin trong học tập,
tránh nhàm chán và lo sợ trước khi đến lớp.
Việc lĩnh hội và tiếp thu các kiến thức của môn toán là cả một quá trình nổ lực
học tập của học sinh. Việc giáo viên sưu tầm nghiên cứu trao đổi với học sinh về
các chuyên đề, phương pháp hoặc các dạng toán làm phong phú kiến thức trong
giảng dạy là rất cần thiết.
Vì thế, đề tài: “ Giúp học sinh Giải bằng nhiều cách các bài toán ” với niềm
hy vọng kích thích tính hiếu kỳ ham học của các em, nhằm giúp các em tìm thêm
nhiều cách giải cho một bài toán nếu được. là niềm hạnh phúc của của người giáo
viên, mặc dù nhỏ bé nhưng với mong mỏi giúp các em ham học và thích học môn
toán hơn
Đặc biệt trong quá trình dạy và học môn toán đòi hỏi người dạy cũng như
người học phải không ngừng tìm tòi say mê và một ít tư duy sáng tạo, tích lũy kinh
nghiệm để tìm ra và giới thiệu những phương pháp giảng dạy, những dạng toán cụ
thể và đa dạng, những cách lĩnh hội kiến thức phù hợp nhất . Giúp người học dễ
hiểu, dễ nhớ nắm được kiến thức có hệ thống lô gíc , nhớ lâu và vận dụng tốt trong
quá trình giải bài tập.
Nhằm giúp cho các em học sinh ngày càng yêu thích môn Toán hơn trong
quá trình học tập. Đồng thời tạo thêm nhiều bài tập có sức hấp dẫn nhờ lòng quyết
tâm của chính mình tìm ra nhiều cách giải phong phú cho một bài toán. Yêu cầu
của đề tài là củng cố và nâng cao kiến thức, rèn luyện kỹ năng suy luận toán học ,
giúp các em tập hợp, hệ thống phân loại và sắp xếp từ dễ đến khó rất phù hợp với
nội dung ở bậc Trung học cơ sở. Trước hết các em hãy cố gắng suy nghĩ tự mình
tìm tòi nhiều cách giải hay cho một bài toán, sẽ thấy được ở đó những điều thú vị.
Nỗi kỳ vọng của người giáo viên là làm được sự bổ ích thiết thực nhất cho học
sinh, là nguồn động viên giúp các em hứng thú học tập tốt hơn.

2) Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.:
- Nhằm đáp ứng yêu cầu học tập của học sinh đại trà “ dần dà ” yêu thích
môn Toán, đồng thời tạo cho học sinh khá-giỏi có cơ hội phát huy khả năng tư duy
độc lập, sáng tạo để tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán, làm cho các bài toán
trở nên phong phú hơn
- Đặt biệt đối với các dạng bài Toán nâng cao khi đã tìm ra cách giải, động
viên các em tìm thêm nhiều cách giải khác nếu được, sẽ gây hứng thú và tự tin kích
thích tính hiếu kỳ say mê học Toán của các em.
- Giúp các em học sinh khá giỏi kiên trì tự học , phát huy khả năng vận dụng
vào việc giải được bài Toán nâng cao ở bậc trung học cơ sở, tạo cho phong trào
GV: Đỗ Như Phùng

-3-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
mũi nhọn của nhà trường về đội ngũ học sinh giỏi “ Toán ” cấp huyện trong những
năm gần đây thêm khởi sắc.
- Để đạt được yêu cầu trên việc giúp các em phân tích bài toán nhằm nhận
biết được đặc điểm, bản chất. Nắm được bài toán cho biết điều gì, và yêu cầu điều
gì, từ đó lựa chọn được phương pháp giải thích hợp.
- Việc đưa ra một số bài Toán Đại số và hình học được giải bằng nhiều cách
giải tiêu biểu cho từng khối lớp của chương trình toán ở bậc THCS, nhằm trao đổi
và trang bị cho các em một ít kiến thức cơ bản. ý muốn giúp các em có tư liệu
tham khảo và vận dụng. Đồng thời giúp các em học sinh trung bình luyện tập để
vươn lên khá giỏi. Các em học sinh khá-giỏi nắm vững các kiến thức và kỹ năng
cơ bản khai thác thêm nhiều cách giải phong phú và hay hơn cho một bài toán.

3) Phạm vi nghiên cứu của đề tài:
- Đối tượng là học sinh đại trà của các khối lớp ở bậc Trung học cơ sở.
- Dựa trên cơ sở sách giáo khoa hình thành thêm một số dạng mới nâng cao
chất lượng đại trà, đồng thời giúp học sinh khá- giỏi có cơ hội mở rộng tư duy, nhờ
đội ngũ học sinh khá giỏi có đủ khả năng tiếp thu kiến thức mở rộng hơn sách giáo
khoa.
- Tìm tòi và nghiên cứu ở các sách tham khảo, chọn lọc và soạn thành hệ
thống cho phù hợp với học sinh.
II. Phương pháp tiến hành:
1) cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu ,
tìm giải pháp của đề tài.
- Từ yêu cầu cần thiết nâng cao trình độ giải một bài Toán, cảm hứng yêu
thích học Toán. Sự phong phú của các bài Toán là giải bằng nhiều cách.
- Việc chọn lọc sắp xếp , các dạng , các loại bài tập theo từng phương pháp
giải toán từ một kiến thức cơ bản cần thiết , để làm phương tiện tự rèn luyện thêm ,
tự nâng cao một số kỷ năng giải bài tập, những bài toán được chọn lọc và sắp xếp
theo hướng từ dễ đến khó dần. Mức độ bắt đầu là những bài tập cơ bản nhất áp
dụng đơn thuần nhất, tìm thêm nhiều cách giải khác thú vị .
Đối với mỗi dạng Toán , mỗi bài có câu hỏi khác nhau ta phải chọn lọc từng
cách giải thích hợp . Muốn có kỹ năng này cần phải đầu tư suy nghĩ tìm thêm cách
giải khác hay hơn, hoặc dự đoán những trường hợp có thể xảy ra tránh thiếu sót
trong quá trình giải Toán.
Sau đây xin trình bày một bài toán minh họa :
Ví dụ: ( Hình học lớp 6 )
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Gọi M là trung điểm của đoạn AC và N là
trung điểm của đoạn BC. Chứng minh rằng AB = 2MN.
Giải :
Ta xét ba trường hợp:
 Trường hợp A nằm giữa B và C
BC > AC
Vì N là trung điểm của đoạn BC
B

A

N
GV: Đỗ Như Phùng

M

CN =

BC

C
-4-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

M là trung điểm của đoạn AC

CM =

AC

Dễ thấy rằng M nằm giữa C và N
MN = CN CM
=
Do đó : MN =

AB

BC

AC =

( BC

AC )

AB = 2MN ( đpcm )

 Trường hợp B nằm giữa A và C

AC > BC

Vì M là trung điểm của đoạn AC

CM =

AC

N là trung điểm của đoạn BC

CN =

BC

Dễ dàng thấy rằng N nằm giữa C và M
MN = CM CN
A

M

B

N

=

AC

BC

=

( AC

BC )

MN =

. AB

C

 Trường hợp C nằm giữa A và B

AB = 2MN

AB = AC + CB

Vì M là trung điểm của đoạn AC

CM =

AC

N là trung điểm của đoạn BC

CN =

BC

Dễ dàng thấy rằng C nằm giữa M và N
A

MN = CM + CN =
M

C

N

B

=
MN =

AC +

BC

( AC + BC )
AB

AB = 2MN ( đpcm )

* Nhận xét :
Đối với ba điểm thẳng hàng để xác định trung điểm một đoạn thẳng, cần xác
định rõ một điểm nằm giữa hai điểm khác. Thường bài này các em hay thiếu sót vì
xác định không đủ các trường hợp có thể xảy ra giữa ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Chính vì lẽ đó việc bồi dưỡng tính cẩn thận suy luận chặt chẽ sẽ giúp các em
hình thành khả năng suy nghĩ để giải một bài Toán bằng nhiều cách.
Vì thế, để bổ trợ kiến thức môn Toán cho học sinh THCS. Tôi luôn đặt ra
một suy nghĩ mở rộng kiến thức, trong việc soạn giảng cần trình bày có trật tự nội
dung kiến thức liên quan.
Phương pháp tiến hành giải Toán cần đưa ra ví dụ mẫu, được tuyển chọn lọc
nhằm giúp hoàn thiện kiến thức cơ bản và nâng cao, tập rèn kỹ năng giải Toán. Sau
mỗi bài giải mẫu cần nêu nhận xét mục đích giúp các em học sinh hiểu rằng cần
phải đi từ kiến thức nào, cần nắm vững kiến thức thức gì ? Từ đó hình thành
GV: Đỗ Như Phùng

-5-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
phương pháp giải toán giúp các em yêu thích hơn qua những bài toán với nhiều
cách giải khác nhau.
Yêu cầu sau mỗi ví dụ sẽ giúp các em học sinh củng cố kiến thức tránh thiếu
sót và nhìn nhận đánh giá các vấn đề đặt ra. Sau đó cung cấp mẫu nhiều ví dụ được
giải bằng nhiều cách khác nhau, giúp các em mở rộng tầm nhìn nâng cao kiến thức,
kích thích tính hiếu kì , tìm thêm nhiều cách giải khác màu sắc và hấp dẫn hơn.

2) Biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:
- Trao đổi với học sinh thông qua bài tập về nhà dưới hình thức bài tập nâng
cao, có kèm theo hướng dẫn gợi ý về nhà.
- Mỗi bài tập sau khi giải cần rút ra nhận xét , những vướng mắc , từ đó phát
hiện ý hay , mang lại cách giải rất sáng tạo và thông minh .
- Nhìn chung , hiện nay khả năng học tập môn Toán ở nhiều học sinh còn
yếu, để học tốt điều quan trọng là rèn kỹ năng giải bài tập, bám sát chương trình
SGK hiện hành, hướng dẫn các em phải độc lập suy nghĩ , kiên trì, có ý chí quyết
tâm tìm hiểu không ngừng
- Việc định hướng cho các em tìm thêm nhiều cách giải cho một bài toán “
không thể ngày một, ngày hai ” mà ta có thể làm được. Đo đó việc lồng ghép đưa
vào việc soạn giảng của từng tiết luyện tập là điều cần thiết, là việc làm lâu dài
trong quá trình giảng dạy với phương châm “ mưa lâu thấm đất ”
- Hãy tự tin vào khả năng độc lập sáng tạo của mình, trên quan điểm cầu
tiến bộ xem việc giải Toán là dịp để sáng tạo , các em hãy tiếp tục suy nghĩ xem có
thể tìm thêm cách giải khác hay và độc đáo hơn không ? Vì môn Toán là môn thể
dục của trí tuệ , muốn học tốt phải có ý thức yêu thích, thường xuyên đầu tư suy
nghĩ sẽ có kết quả tốt.
- Dựa trên cơ sở có một số học sinh giỏi có đủ khả năng tiếp thu kiến thức
mở rộng hơn sách giáo khoa.
- Tìm tòi và nghiên cứu ở các sách tham khảo, chọn lọc và soạn thành hệ
thống cho phù hợp với học sinh.
- Học hỏi và tiếp thu ý kiến, kiến thức và phương pháp giảng dạy của bạn
bè, đồng nghiệp.
- Không ngừng tự học để nâng cao kiến thức và rèn luyện tay nghề.

GV: Đỗ Như Phùng

-6-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
Phần B : NỘI DUNG THỰC HIỆN – KẾT QUẢ
I. Mục tiêu:
- Xác định phương pháp giảng dạy thích hợp đáp ứng nhu cầu tiếp thu kiến
thức phù hợp cho cả ba đối tượng học sinh : khá-giỏi , trung bình , yếu-kém .
- Giúp học sinh tiếp cận với nhiều dạng bài tập khác nhau, khi đã tìm ra cách
giải nên có ý thức đặt ra cho mình câu hỏi tích cực hơn, nghĩa là còn cách giải nào
nữa không ? Từ đó học sinh luôn tạo cho mình một suy nghĩ phải tìm thêm cách
giải khác để được suy nghĩ và được sáng tạo.
- Giáo viên luôn thể hiện là người hướng dẫn tích cực , để học sinh được
quyền tư duy tìm thêm cách giải mới có thể. Mỗi bài tập luôn là một cơ hội cho các
em tự rèn luyện để có thể nghiên cứu thêm, giúp học sinh trung bình vươn lên khá
giỏi.
- Nội dung trong đề tài về kiến thức được giới thiệu các bài tập được lựa
chọn nhằm củng cố nhiều kiến thức, đa dạng về thể loại và phong phú về cách giải,
rèn luyện các kỹ năng phát triển năng lực tư duy sáng tạo, phù hợp dễ tiếp thu cho
mọi đối tượng học sinh.
- Để đem lại hiệu quả cao nhất với việc trình bày chi tiết bài giải và hướng
dẫn cụ thể bài tập tự rèn khi về nhà, phần nào giúp học sinh hiểu rằng: “ Không
việc gì khó, chỉ sợ không chăm chỉ ”, nếu cố gắng như dẫn dắt đi đến phát hiện
kiến thức tìm ra cách giải, rồi sau đó có thể tìm thêm được nhiều cách giải khác .
Từ đó vận dụng vào việc giải bài tập áp dụng đơn giản đến bài tập tổng hợp dành
cho học sinh khá giỏi là điều có thể đạt được theo tôi suy nghĩ.
- Nhằm đáp ứng yêu cầu học tập của học sinh đại trà yêu thích môn Toán có
cơ hội phát huy khả năng tư duy sáng tạo tìm ra hướng giải các dạng toán nâng cao
một cách hứng thú và tự tin. Với đề tài: “ Giúp học sinh giải bằng nhiều cách các
bài toán ” là cẩn thiết, với suy nghĩ mang lại tính thiết thực giúp học sinh khá giỏi
tự tin khi giải một số bài toán nâng cao, đặc biệt là điều kiện bổ trợ thêm kiến thức.
- Với suy nghĩ đóng góp một phần nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi kiên trì
tự học , phát huy khả năng vận dụng vào việc giải bài tập nâng cao về môn Toán
tạo cho phong trào mũi nhọn của nhà trường về đội ngũ học sinh giỏi “ môn Toán”
cấp thị xã trong những năm tiếp theo.
- Về kỹ năng mục đích giúp học sinh sáng tạo trong tư duy thể hiện thông
qua sự tiếp thu kiến thức và trình bày bài giải chính xác và khoa học.
- Về thái độ giúp các em có sự tự tin với chính bản thân mình, có thể khẳng
định được năng lực của mình trên chặng đường học học tập. với suy nghĩ đơn giản
là “ Có công mài sắt, có ngày nên kim ”.

II. Mô tả giải pháp của đề tài:
1) Thuyết minh tính mới:
- Nhằm giúp cho các em học sinh đại trà yêu thích môn Toán và giải được
bài tập Toán theo yêu cầu của sách giáo khoa và không chỉ dừng lại ở đó, đề tài
còn yêu cầu các em yêu thích môn toán hãy suy nghĩ để tìm thêm nhiều cách giải
khác cho một bài Toán .
- Giải pháp chính giúp các em học tốt môn toán cần phải đọc kỹ đề bài suy
nghĩ tái hiện kiến thức suy nghĩ tìm ra cách giải phù hợp. Từ các dạng toán được
trao đổi cụ thể giúp các em củng cố những kiến thức. Sau mỗi bài toán giúp các em
GV: Đỗ Như Phùng

-7-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
củng cố những thiếu sót và cách nhìn nhận đánh giá các vấn đề đặt ra. Đồng thời
trao đổi một số bài toán được giải bằng nhiều cách khác nhau, sẽ giúp học sinh trở
nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải , kích thích tính hiếu kỳ của
các em học sinh khá giỏi, tìm thêm cách giải cho một bài toán nếu có thể được.
- Những điểm mới của đề tài là giới thiệu nội dung kiến thức đã học ở
chương trình toán từ lớp 6 đến lớp 9, bắt đầu từ các bài toán tiêu biểu nhất , được
sắp xép từ dễ đến khó với mỗi bài toán rất phong phú về cách giải , được trình bày
giải bằng nhiều cách cụ thể và chi tiết , giúp các em rút kinh nghiệm, sau một số
bài tập có phần nhận xét, rút ra phương pháp giải để khắc sâu kiến thức vận dụng
giải toán. Đồng thời giới thiệu một số bài toán phong phú về cách giải, được hướng
dẫn gợi ý, giúp các em tự rèn luyện , qua đó giúp các em sáng tạo nâng cao kỹ
năng giải toán của mình.
Điểm sáng tạo của giải pháp là tạo ra sự yêu thích môn toán đối với học sinh
khi tự mình vươn lên trong học tập nhờ giải tỏa được tâm lý của các em, khắc phục
tư tưởng sợ học môn Toán.

2) Khả năng áp dụng.
Việc lĩnh hội và tiếp thu kiến thức là cả một vấn đề đặc biệt trong các hoạt
động dạy và học môn toán, vì lẽ đó đòi hỏi người dạy cũng như người học phải
không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đưa ra những phương pháp
giảng dạy, những cách lĩnh hội kiến thức phù hợp nhất. Để giúp việc giải các bài
toán mang tính vận dụng, đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến
thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt, các công cụ toán học có tính hệ thống,
các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện.
Từ những suy nghĩ trên tôi xác định không phải “ một sớm , một chiều ” mà
có thể vận dụng tốt nội dung đề tài. Do đó việc vận dụng đề tài phải xuyên suốt cả
năm học, nhưng chủ yếu từ đầu năm học đến hết giai đoạn bồi dưỡng học sinh giỏi
để dự thi cấp thị xã. Đặc biệt tính khả thi cao độ đối với đội ngũ học sinh được
tuyển chọn bồi dưỡng học sinh giỏi.
 Hướng dẫn học sinh tiếp cận với các bài toán đại số, hình thành khả
năng giải bài Toán bằng nhiều cách:
Để minh họa cho môn thể dục trí tuệ nhiều sáng tạo mà bản thân đã chọn ra
một số bài toán cơ bản, thường xuyên trao đổi với học sinh. tôi xin giới thiệu một
số chuyên đề Đại số cơ bản sau.
Chuên đề 1:
SỐ HỮU TỈ
Bài toán 1:
So sánh 42000 và 24000
Giải :
Cách 1: Ta có
Do đó: 42000 = 24000
Cách 2:
Cách 3:

Do đó: 42000 = 24000
Lập tỉ số

GV: Đỗ Như Phùng

-8-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

Do đó: 42000 = 24000

* Nhận xét :
Trong hai cách 1&2 nhờ biến đổi thành hai lũy thừa cùng cơ số và cùng số mũ.
ở cách 3 có ý thức về tỉ số của hai số, nếu bằng nhau thì tỉ số của chúng bằng 1.
Bài toán 2: Tính x, y, z . Biết
Giải :
Cách 1: Ta biết :
Nên
Do đó:
x = 2.3 = 6
x = 8.2 = 16
z = 5.2= 10
Vậy: Giá trị của x = 6; y = 16 ; z = 10
Cách 2: Từ

Ta có: 3x + y – 2z = 14

Vậy: Giá trị của x = 6; y = 16 ; z = 10
Cách 3: Đặt

7m = 14
m=2
Ta có: x = 3.m = 3.2 = 6; y = 8m = 8.2 = 16 ; z = 5m = 5.2 = 10

Vậy: Giá trị của x = 6; y = 16 ; z = 10
* Nhận xét :
Ở cách 1, Ta biến đổi để được dãy tỉ số bằng nhau có tử bằng các hạng tử
của tổng
từ đó sử dụng tính chất dãy tỉ số tìm ra x, y , z.
Ở cách 2, ta có thể dùng phương pháp thế rút ẩn từ dãy tỉ số bằng nhau thay
vào tổng
tìm được một ẩn , rồi tìm hai ẩn kia.
GV: Đỗ Như Phùng

-9-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Ở cách 3, ta có thể dùng ẩn phụ, thay vào tổng
ẩn phụ, rồi tìm x, y, z.

Năm học 2011 - 2012

sau đó tìm giá trị

 Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1: tính tích

Đáp số :
Bài 2: tính tích

Đáp số :
Bài 3: So sánh
Bài 4: So sánh 3444 và 4333
Bài 5: Cho x; y thõa mãn
Chuyên đề 2:

và x.y = 48. Tìm giá trị của x và y.

PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Dạng 1: Thực hiện phép tính
Bài toán 3: Thực hiện phép tính sau (x2 + x + 1)(x2 1)(x2 x 1)
Giải :
Cách 1: Có thể thực hiện phép nhân đa thức rồi thu gọn biểu thức.
(x2 + x + 1)(x2 1)(x2 x + 1) = (x4 – x2 + x3 – x + x2 – 1)(x2 – x + 1)
= (x4 + x3 – x – 1)(x2 – x + 1)
= (x6 – x5 + x4 – x5 x4 + x3 – x3 + x2 x – x2 + x +1)
= x6 1
Cách 2:
(x2 + x + 1)(x2 1)(x2 x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x + 1)(x2 x + 1)
= (x3 – 1)(x3 + 1)
= ( x3)2 – 12 = x6 – 1
Cách 3:
(x2 + x + 1)(x2 1)(x2 x + 1) = (x2 1)(x2 + x + 1)(x2 x + 1)
= (x2 1) (x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x)
= (x2 1)[(x2 + 1)2 x2 ]
= (x2 1)(x4 + 2x2 + 1 – x2)
= (x2 1)(x4 + x2 + 1)
= ( x2)3 1
= x6 – 1
GV: Đỗ Như Phùng

-10-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
Dạng 2:
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài toán 4: Chứng minh đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Giải :
3
3
3
Cách 1: Vế trái a + b = ( a + 3a2b + 3ab2 + b3 ) – 3a2b 3ab2
= (a + b)3 – 3ab(a + b)
Cách 2: Vế phải (a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2
= a3 + b3
Cách 3: Vế trái a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
(1)
3
2
Vế phải (a + b) – 3ab(a + b) = (a + b)[(a + b) – 3ab]
= (a + b)(a2 + 2ab + b2– 3ab)
= (a + b)(a2 – ab + b2)
(2)
3
3
3
Từ (1) và (2) suy ra a + b = (a + b) – 3ab(a + b)

Dạng 3:
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài toán 5:
Cho x, y thõa mãn x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức M = x3 + y3 + 3xy
Giải :
Cách 1: Biến đổi x + y = 1
y = 1 – x thay vào M, ta được
3
M = x + (1 x)3 + 3x(1 – x)
= x3 + 1 3x + 3x2 x3 + 3x – 3x2
M=1
Cách 2: Biến đổi biểu thức
M = (x3 3x2y + 3xy2 y3) (3x2y + 3xy2 3xy)
= (x – y)3 – 3xy(x + y – 1)
Thay x + y = 1 vào biểu thức, ta được
M = 13 – 3xy (1 – 1) = 1
Cách 3: Biến đổi biểu thức M
M = (x + y)(x2 – xy + y2) + 3xy
= (x2 – xy + y2) + 3xy
với x + y =1
2
2
= x + 2xy + y
= (x + y)2
M = 12 = 1
Cách 4:
Với x + y = 1, ta có: M = x3 + y3 + 3xy.1
M = x3 + y3 + 3xy(x + y)
= x3 + y3 + 3x2y + 3xy2
= (x + y)3
Do đó: M = 13 = 1
* Nhận xét:
Trong các cách giải trên luôn biến đổi điều kiện x + y = 1, để thay vào biểu
thức M, rồi rút gọn biểu thức ta đượng giá trị của M.
GV: Đỗ Như Phùng

-11-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
Chuyên đề 3:
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1. Tóm tắt kiến thức cơ bản:
Các phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử.

 Phương pháp đặt nhân tử chung : A.B + A.C A.D = A.(B + C
 Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

D)

Ta biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức
đơn giản nhờ sử dụng hằng đẳng thức.
 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : dùng tính chất giao hoán – kết hợp
chia đa thức thành từng nhóm thích hợp, rồi dùng các phương pháp phân tích thành
nhân tử theo nhóm, cuối cùng phân tích chung đối với các nhóm.
 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Nếu các hạng tử của đa thức
có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong
ngoặc đơn giản hơn rồi tiếp tực phân tích đa thức thành nhân tử.
 Phương pháp tách hạng tử: Ta có thể tách một hạng tử nào đó thành hai
hay nhiều hạng tử thích hợp để xuất hiện nhóm nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau tành nhân tử
2x2 7xy + 5y2 = 2x2 2xy 5xy + 5y2
= 2x(x y) 5y(x y)
= (x y)(2x 5y)
 Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
x4 + 4 = x4 + 4x2 4x2 + 4
= x4 + 4x2 + 4 4x2
= (x2 + 2)2 (2x)2
= (x2 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
 Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12
Đặt x2 + x + 1 = y, ta có x2 + x + 2 = y + 1
A = y(y + 1) 12
= y2 + y 12
= y2 9 + y 3
= (y 3)(y + 3) + (y 3)
= (y 3)(y + 4)
2
Thay y = x + x + 1, ta được:
(x2 + x + 1 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x 2)( x2 + x + 5)
= (x2 x + 2x 2)( x2 + x + 5)
= [(x2 x) + (2x 2)].(x2 + x + 5)
= [(x2 x) + (2x 2)].(x2 + x + 5)
= [x(x 1) + 2(x 1)].(x2 + x + 5)
= (x 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
2. Một số bài Toán thường gặp rất phong phú cách giải
GV: Đỗ Như Phùng

-12-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
2
Bài toán 6 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 10x + 16
Khi nghiên cứu bài Toán này kỹ bạn sẽ thấy hai điểm chú ý:
 Điểm chú ý thứ nhất : bài Toán rất phong phú về cách giải. Sau đây xin trình
bày các cách giải đó.
Giải :
2
2
Cách 1: x 10x + 16 = x
2x 8x + 16
= x(x 2) 8(x 2)
= (x 2)(x 8)
2
Cách 2: x 10x + 16 = (x2 10x + 25) 9
= (x 5)2 32
= [(x 5) 3].[ (x 5) + 3]
= (x 8)(x 2)
2
Cách 3: x 10x + 16 = x2 64 10x + 80
= ( x 8)(x + 8) 10(x 8)
= (x 8)[(x + 8) 10]
= (x 8)(x 2)
Cách 4: x2 10x + 16 = x2 4 10x + 20
= (x 2)(x + 2) 10(x 2)
= (x 2)[(x + 2) 10]
= (x 2)(x 8)
2
Cách 5: x 10x + 16 = x2 4x + 4 6x + 12
= (x 2)2 6(x 2)
= (x 2)[(x 2) 6]
= (x 2)(x 8)
2
Cách 6: x 10x + 16 = x2 16x + 64 + 6x
48
2
= (x 8) + 6(x 8)
= (x 8)[(x 8) + 6)]
= (x 8)(x 2)
2
Cách 7: x 10x + 16 = 5x2 10x 4x2 + 16
= 5x(x 2) 4(x2 4)
= (x 2)[5x 4(x + 2)]
= (x 2)(5x 4x 8)
= (x 2)(x 8)
* Nhận xét :
Ngoài ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ta có thể dùng cách
tách hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử để giải bài toán bằng nhiều cách. Rõ
ràng 7 cách giải trên đã cho ta thấy việc tìm thêm nhiều cách giải khác nhau thật là
thú vị.
 Điểm chú ý thứ hai: của đa thức x 2 10x + 16 là trường hợp đặc biệt của
tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c có hai nghiệm số. Hay là trường hợp của
phương trình bậc hai dạng : ax2+ bx + c = 0 với a 0 có hai nghiệm số phân biệt.
Thì f(x) = a(x – x1)(x – x2) trong đó và là hai nghiệm của phương trình

Chuyên đề 3:

GV: Đỗ Như Phùng

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
-13-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

Bài toán 7:

. Tính giá trị của biểu thức

Cho x thõa mãn

Giải :
3x = 2(x2 – x + 1)

Cách 1: Ta có

3x = 2x2 – 2x + 2
2x2 – 2x + 2 3x = 0
2x2 – 4x x + 2 = 0
2x(x – 2) (x 2) = 0
(x – 2)(2x – 1) = 0
x 2=0
x=2

2x – 1 = 0

x=

 Với x = 2

 Với x =

=

Vậy: Giá trị của biểu thức cần tìm là M =
Cách 2:

=

Ta có:

=
Xét

=
Do đó: M =

=

. =

Vậy:
Giá trị của biểu thức cần tìm là M =
Cách 3:
GV: Đỗ Như Phùng

-14-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

Xét
Do đó : M =

=

. =

Vậy: Giá trị của biểu thức cần tìm là M =
Cách 4:

Từ
x–1+
x+

=

x+

=

+1=

=

Do đó:

=

Vậy: Giá trị của biểu thức cần tìm là M =
 Bài tập tự rèn luyện:

Bài 1: Cho 0 < x < y và 2x2 + 2y2 = 5xy. Tính giá trị của
* Hướng dẫn cách giải
Gợi ý:
2
Cách 1: Biến đổi 2x + 2y2 = 5xy
(x 2y)(2x y) = 0
Vì 0 < x < y , nên x < 2y
x 2y < 0
Ta có 2x y = 0
y = 2x
A= 3
Cách 2: Bình phương hai vế, ta được A2 = 9
Vì điều kiện 0 < x < y
x – y < 0 , nên A < 0
Bài 2: Cho

A=

3

. Tính giá trị của biểu thức

* Hướng dẫn cách giải

Gợi ý:

Cách 1: Rút gọn biểu thức
Cách 2: Chia tử và mẫu của A cho y2, rồi thay

, Ta được

Cách 3: Từ
GV: Đỗ Như Phùng

-15-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

Cách 4: Từ

;

thay vào A

 Chuyên đề 4: CĂN THỨC BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC BA
Bài toán 8: Rút gọn biểu thức
Giải :
Cách 1:
Gợi ý tìm hướng giải
biểu diễn được
và
dưới dạng bình
phương của một biểu thức giúp ta dễ dàng rút gọn được biểu thức M, Ta nghĩ đến
việc vận dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hay bình phương của một
hiệu.
Ta có :

Do đó:
=
Cách 2:
Dễ thấy rằng

là một số chính phương, vì vậy ta nghĩ

đến việc dùng hằng đẳng thức (a + b)(a – b) = a2 – b2 , trong đó a =
b=

và

Vì M > 0
=

+

=8–2
Do đó:

* Nhận xét :
Để tính giá trị của biểu thức M ta tính M 2. Vì đặc điểm của hai biểu thức
dưới dấu căn là chúng có dạng a + b và a – b , nên việc vận dụng hằng đẳng thức
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Bài toán 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
GV: Đỗ Như Phùng

-16-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

Giải :

Ta có:

Cách 1:
- Nếu x < 1 thì A = x 1 x + 1 = 2x > 2
- Nếu 1 x 1 thì A = x + 1 x + 1 = 2
- Nếu x > 1 thì A = x + 1 + x 1 = 2x > 2
Từ (1),(2) và (3) suy ra: minA = 2
1 x 1
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi A.B 0
Từ

(1)
(2)
(3)

Hay: A
Do đó khi ( x + 1)(1 x) 0
1 x 1 thì minA = 2
* Nhận xét :
Có thể sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối kết hợp với trường hợp đặc
biệt về dấu giá trị trong các khoảng hoặc đoạn xác định được giá trị nhỏ nhất của
biểu thức. hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức
.

 Bài tập tự rèn luyện:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
* Hướng dẫn cách giải
Gợi ý:
Tìm điều kiện xác định
Cách 1: Sử dụng BĐT Cau chuy a + b

2

max P2 = 16
max P = 4 khi x = 9
Cách 2: Sử dụng BĐT Bu nhi a cop xki
( a1b1 + a2b2)2 (a12 + a22).(b12 + b22)
maxP2 = 16
maxP = 4 khi x = 9
Đặc điểm chung ở hai cách là tính maxP2
maxP
Bài 2:
Tính
* Hướng dẫn cách giải
Gợi ý:
Cách 1: Biểu diễn
và
dưới dạng lập phương của một
biểu thức.
x=4
Cách 2:
và
là hai biểu thức liên hiệp. có
. Vì vậy nghĩ ngay đến hằng đẳng thức mở rộng
= a3 – b3 3ab(a – b)
Lập phương hai vế để được
GV: Đỗ Như Phùng

thu gọn ta được x3 + 3x
-17-

76 = 0

( a – b)3
x=4

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2011 - 2012

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu:
ĐKXĐ của biểu thức
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức A2 – B2
Cách 2: Nhân tử và mẫu với

 Chuyên đề 5:
Bài toán 10:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Giải phương trình

(1)

Giải :
Điều kiện xác định x 0
Cách 1: Từ (1)
2( + 1)2 + 2x2 = 5x(x2 + 1)
2x4 + 4x2 + 2 + 2x2
5x3
5x = 0
2 2
2
2x (x + 2x + 1) + x(x + 2x + 1) + 2(x2 + 2x + 1) = 0
2
2
(x + 2x + 1)( 2x + x + 2) = 0
(x + 1)2(2x2 + x + 2) = 0
Vì 2x2 + x + 2 = 0 có = 1 4 = 3 < 0 phương trình vô nghiệm.
Nên: x + 1 = 0
x = 1 ( thõa mãn điều kiện )
Vậy: Phương trình có nghiệm là x = 1
Cách 2: Đặt ẩn số phụ , Đặt:
Từ (1)

y+

=

2y2 + 5y + 2 = 0

Phương trình có hai nghiệm y1 =
 Với y =

; y2 =

2

, ta được 2x2 + x + 2 = 0 phương trình vô nghiệm

2, ta được x2 + 2x + 1 = 0
x = 1 ( thõa mãn đk )
Vậy: Phương trình có nghiệm là x = 1

 Với y =

* Nhận xét :
Sau khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta lưu ý đặt điều kiện xác định của
phương trình, ngoài cách giải thông thường, ta xem vế trái gồm hai phân thức
nghịch đảo của nhau, nên ta có thể đặt ẩn phụ

để được phương trinh

theo ẩn y.

 Bài tập tự rèn luyện:

Bài 1: giải phương trình (x2 + 16x + 60)(x2 + 17x + 60) = 6x2
* Hướng dẫn cách giải
Gợi ý:

GV: Đỗ Như Phùng

-18-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cách 1: Đặt ẩn phụ t = x2 + 16x + 60

Năm học 2011 - 2012

t(t + x) = 6x2
Giải phương trình ra ta được t1 = 2x , t2 = 3x
Giải phương trình theo nghiệm x , ta được:
= 4 ; = 15
Cách 2: Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Chia hai vế cho
Đặt t = x +

, ta được (x + 16 +
t2 + 33t +272 = 0

)(x + 17 +
t1 =

14; t2 =

)=6
15

Giải ra ta được x1 = 4 ; x2 = 15
Cách 3: Đặt ẩn phụ là trung binh cộng của hai biểu thức trong dấu ngoặc
t=x+

+

t=

Giải ra ta được x1 = 4 ; x2 = 15
Bài 2: giải phương trình (x 4)(x 5)(x 8)(x 10) = 72x2
* Hướng dẫn cách giải
Gợi ý:
Đưa về dạng phương trình bài 1
giải giống 3 cách như trên.

 Chuyên đề 6: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
 Cách giải theo các bước của sơ đồ tư duy sau:

Bài toán 11:
Hai xe ô tô cùng khởi hành từ thành phố A đến thành phố Bcach1 nhau
150km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai là 10km/hn nên đã đến B sớm hơn
xe thứ hai là 45 phút. Tìm vận tốc của mỗi xe.
GV: Đỗ Như Phùng

-19-

Trường THCS Nhơn Thành

  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2011 - 2012
Giải :
Cách 1: ( Chọn ẩn số trực tiếp )
Gọi vận tốc của xe ô tô thứ I là x(km/h), điều kiện x > 0
Vận tốc của xe ô tô thứ nhất là x 10(km/h)

Thời gian xe ô tô thứ nhất đi hết đoạn đường AB là

( giờ )

Thời gian xe ô tô thứ hai đi hết đoạn đường AB là
Ta có phương trình:

=

( giờ )

( trong đó 45 phút =

giờ )

Giải ra ta được x1 = 50 ; x2 = 40 ( loại )
Vậy: - Vận tốc của xe ô tô thứ nhất là 50km/h
- Vận tốc của xe ô tô thứ hai là 40km/h
Cách 2: ( chọn ẩn số gián tiếp )
Gọi thời gian xe ô tô thứ II đi hết đoạn đường AB, điều kiện x >
Thời gian xe ô tô thứ nhất đi hết đoạn đường AB là x
Vận tốc của xe ô tô thứ hai đi hết đoạn đường AB là

(giờ)
( km/h )

Vận tốc của xe ô tô thứ nhất đi hết đ...