Các chuyên đề Toán 8 (tập một) – Phạm Đình Quang
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: TOANMATH.COM
Người gửi: Lê Văn Thuận (trang riêng)
Ngày gửi: 02h:45' 06-02-2024
Dung lượng: 1.3 MB
Số lượt tải: 48
Nguồn: TOANMATH.COM
Người gửi: Lê Văn Thuận (trang riêng)
Ngày gửi: 02h:45' 06-02-2024
Dung lượng: 1.3 MB
Số lượt tải: 48
Số lượt thích:
0 người
GV PHẠM ĐÌNH QUANG
KẾT NỐI TRI THỨC
VỚI CUỘC SỐNG
TOÁN 8
TOÁN
TẬP MỘT
1
Tóm tắt lý thuyết
2
Ví dụ minh họa
3
Bài tập tự luận
4
Bài tập trắc nghiệm
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
π
Mục lục
Phần I
Chương 1.
ĐẠI SỐ
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
1
Bài 1. Nhân đơn thức với đa thức
1
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Bài 2. Nhân đa thức với đa thức
4
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
10
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
23
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng
thức
26
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử28
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác (tách
hạng tử, thêm bớt, đặt ẩn phụ)
33
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bài 10. Chia đơn thức cho đơn thức
A
42
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bài 11. Chia đa thức cho đơn thức
43
A
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Bài 12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Chương 2.
45
A
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
52
Bài 1. Bài 1,2,3,4. Phân thức đại số
52
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Bài 2. Bài 5, 6, 7, 8. Phép cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bài 3. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ - giá trị của phân thức đại số
A
Phần II
Chương 3.
56
65
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
HÌNH HỌC
TỨ GIÁC
82
Bài 1. Tứ giác
82
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Bài 2. Hình thang
87
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Bài 3. Hình thang cân
90
A
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Bài 4. Đường trung bình
94
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Bài 6. Đối xứng trục
105
MỤC LỤC
ii
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Bài 7. Hình bình hành
110
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Bài 8. Đối xứng tâm
119
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bài 9. Hình chữ nhật - Đường thẳng song song với một đường thẳng cho
trước.
127
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Bài 11. Hình thoi
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Bài 12. Hình vuông
Chương 4.
Chương 5.
iii
p MỤC LỤC
141
156
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
174
Bài 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
174
Bài 2. BÀI TẬP
175
Đề thi tham khảo
181
Bài 1. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2009 - 2010
181
Bài 2. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2010 - 2011
183
Bài 3. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2011 - 2012
185
Bài 4. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2012 - 2013
187
Bài 5. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2013 - 2014
189
Bài 6. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2014 - 2015
191
Bài 7. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2015-2016
193
Bài 8. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2016-2017
195
Bài 9. Đề kiểm tra học kì 1 - Năm học 2009 - 2010
197
Bài 10. Đề kiểm tra học kì I năm học 2010 - 2011
199
Bài 11. Đề kiểm tra học kì I năm học 2011 - 2012
202
Bài 12. Đề kiểm tra học kì 1 - Năm học: 2012 - 2013
206
Bài 13. Đề kiểm tra học kì I năm học 2013 - 2014
209
Bài 14. Đề kiểm tra học kì I năm học 2014 - 2015
213
Bài 15. Đề kiểm tra học kì I năm học 2015 - 2016 - Quận 1
216
Bài 16. Đề kiểm tra học kì I năm học 2016 - 2017 - Quận 1
219
MỤC LỤC
iv
PHẦN
I
ĐẠI SỐ
1
Chương
PHÉP
PHÉP NHÂN
NHÂN VÀ
VÀ PHÉP
PHÉP CHIA
CHIA CÁC
CÁC
ĐA
ĐA THỨC
THỨC
Bài
1
NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B
BÀI TẬP
c Bài 1. Thực hiện phép nhân:
a) (−5x2 ) (3x3 − 2x2 + x − 1);
ãÅ
ã
Å
1
1
2
3
− xy ;
b) −4x + y − yz
3
4
2
c) (−7mxy 2 ) (8m2 x − 3my + y 2 − 4ny);
d) −3a2 b (4ax + 2xy − 4b2 y).
Ê Lời giải.
a) (−5x2 ) (3x3 − 2x2 + x − 1) = −15x5 + 10x4 − 5x3 + 5x2 .
ãÅ
ã
Å
2
1
1
1
1
3
− xy = 2x4 y − xy 2 + xy 2 z.
b) −4x + y − yz
3
4
2
3
8
c) (−7mxy 2 ) (8m2 x − 3my + y 2 − 4ny) = −56m3 x2 y 2 + 21m2 xy 4 − 7mxy 4 + 28mnxy 3 .
d) −3a2 b (4ax + 2xy − 4b2 y) = −12a3 bx − 6a2 bxy + 12a2 b3 y.
c Bài 2. Rút gọn biểu thức
a) 3x2 y (2x2 − y) − 2x2 (2x2 y − y 2 );
b) 3x2 (2y − 1) − [2x2 (5y − 3) − 2x(x − 1)];
c) 2 · (x2n + 2xn y n + y 2n ) − y n (4xn + 2y n ) , với n ∈ N∗ ;
d) 3xn−2 (xn+2 − y n+2 ) + y n+2 (3xn−2 − y n−2 ) , (với n ∈ N, n > 2).
1
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Ê Lời giải.
a) 3x2 y (2x2 − y) − 2x2 (2x2 y − y 2 ) = 6x4 y − 3x2 y 2 − 4x4 y + 2x2 y 2 = 2x4 y − x2 y 2 .
b)
3x2 (2y − 1) − 2x2 (5y − 3) − 2x(x − 1) = 6x2 y − 3x2 − 10x2 y − 6x2 − 2x2 + 2x
= 6x2 y − 3x2 − 10x2 y + 6x2 + 2x2 − 2x
= −4x2 y + 5x2 − 2x.
c) 2·(x2n + 2xn y n + y 2n )−y n (4xn + 2y n ) = 2x2n +4xn y n +2y 2n −4xn y n −2y 2n = 2x2n , với n ∈ N∗ .
d) 3xn−2 (xn+2 − y n+2 ) + y n+2 (3xn−2 − y n−2 ) = 3x2n − 3xn−2 y n+2 + 3xn−2 y n+2 − y 2n = 3x2n − y 2n .
c Bài 3. Tìm x biết
a) 3(2x − 1) − x(3x − 2) = 3x(1 − x) + 2;
Å
ã
Å
ã
8
1
3
1 2
1
x−
;
x − 4 · x = −14 −
b) x −
4
2
2
2
3
c) 2x3 · (2x − 3) − x2 (4x2 − 6x + 2) = 0.
Ê Lời giải.
a)
3(2x − 1) − x(3x − 2)
6x − 3 − 3x2 + 2x
5x
x
=
=
=
=
3x(1 − x) + 2
3x − 3x2 + 2
5
1.
Vậy x = 1.
b)
Å
ã
1 2
1
1
x −
x−4 · x
4
2
2
1 2 1 2
x − x + 2x
4
4
3
2x + x
2
7
x
2
Å
ã
3
8
= −14 −
x−
2
3
3
= −14 − x + 4
2
= −10
= −10
x =
Vậy x =
−20
.
7
20
.
7
1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
2
c)
2x3 · (2x − 3) − x2 4x2 − 6x + 2
4x4 − 6x3 − 4x4 + 6x3 − 2x2
−2x2
x2
x
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0.
Vậy x = 0.
c Bài 4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y
a) 3x(x − 5y) + (y − 5x)(−3y) − 1 − 3 (x2 − y 2 );
b) x (x3 + 2x2 − 3x + 2) − (x2 + 2x) x2 + 3x(x − 1) + x − 12;
c) 3xy 2 (4x2 − 2y) − 6y (2x3 y + 1) + 6 (xy 3 + y − 3);
d) 2 (3xn+1 − y n−1 ) + 4 (xn+1 + y n−1 ) − 2x (5xn + 1) − 2 (y n−1 − x) , (với n ∈ N, n > 1).
Ê Lời giải.
a) 3x(x − 5y) + (y − 5x)(−3y) − 1 − 3 (x2 − y 2 ) = 3x2 − 15xy − 3y 2 + 15xy − 1 − 3x2 + 3y 2 = −1.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
b)
x x3 + 2x2 − 3x + 2 − x2 + 2x x2 + 3x(x − 1) + x − 12
= x4 + 2x3 − 3x2 + 2x − x4 − 2x3 + 3x2 − 3x + x − 12
= −12.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x.
c)
3xy 2 4x2 − 2y − 6y 2x3 y + 1 + 6 xy 3 + y − 3
= 12x3 y 2 − 6xy 3 − 12x3 y 2 − 6y + 6xy 3 + 6y − 18
= −18.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
d)
2 3xn+1 − y n−1 + 4 xn+1 + y n−1 − 2x (5xn + 1) − 2 y n−1 − x
= 6xn+1 − 2y n−1 + 4xn+1 + 4y n−1 − 10xn+1 − 2x − 2y n−1 + 2x
= 0.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
3
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài
A
2
NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hãy làm theo các hướng dẫn sau
○ Hãy viết một đa thức bậc 3 có hai hạng tử và một đa thức bậc 4 có ba hạng tử (cà hai đa thức
đều có cùng một bến x).
○ Hãy nhân mỗi hạng tử của đa thức này với đa thức kia.
○ Hãy cộng các kết quả vừa tìm được.
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
2. Quy tắc
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng t của đa thức này với từng hạng tử của
đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B)(C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D.
3. Áp dụng
Làm tính nhẩm
a)
B
(x + 3) x2 + 3x − 5
=x3 + 3x2 − 5x + 3x2 + 9x − 15
=x3 + 6x2 + 4x − 15.
b)
(xy − 1)(xy + 5)
=x2 y 2 + 5xy − xy − 5
=x2 y 2 + 4xy − 5.
BÀI TẬP
c Bài 1. Thực hiện phép nhân:
a) (2x + 3y)(2x − 3xy + 4y).
b) (2a − 1) (a2 − 5 + 2a).
c) (5y 2 − 11y + 8)(3 − 2y).
d) (x + 1)(x − 2)(2x − 1).
e) (x − 2)(3x + 1)(x + 1).
2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
4
f) (3x2 + 11 − 5x)(8x − 6 + 2x2 ).
g) x2 + x + 1) (x5 − x4 + x2 − x + 1).
h) (x2 + x + 1) (x3 − x2 + 1).
i) (x2n + xn y n + y 2n ) (xn − y n )(x3n + y 3n ) (n ∈ N∗ ).
j) (a + b + c) (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).
k) (a + b + c + d) (a2 + b2 + c2 + d2 − ab − ac − ad − bc − bd − cd).
Ê Lời giải.
a) (2x + 3y)(2x − 3xy + 4y) = 4x2 − 6x2 y + 14xy − 9xy 2 − 12y 2 .
b) (2a − 1) (a2 − 5 + 2a) = 2a3 + 3a2 − 12a + 5.
c) (5y 2 − 11y + 8) (3 − 2y) = −10y 3 + 37y 2 − 49y + 24.
d) (x + 1)(x − 2)(2x − 1) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.
e) (x − 2)(3x + 1)(x + 1) = 3x3 − 2x2 − 7x − 2.
f) (3x2 + 11 − 5x) (8x − 6 + 2x2 ) = 6x4 + 14x3 − 36x2 + 118x − 66.
g) (x2 + x + 1) (x5 − x4 + x2 − x + 1) = −x6 + x4 + x3 + x2 + 1.
h) (x2 + x + 1) (x3 − x2 + 1) = x5 + x + 1.
i)
x2n + xn y n + y 2n (xn − y n ) x3n + y 3n (n ∈ N∗ )
=(x3x − y 3n )(x3n + y 3n ) = x6n − y 6n .
j) (a + b + c) (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = a3 + b3 + c3 − 3abc.
k)
(a + b + c + d) a2 + b2 + c2 + d2 − ab − ac − ad − bc − bd − cd
=a3 + b3 + c3 + d3 − 3abc − 3abd − 3acd − 3bcd.
c Bài 2. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) x (x3 + x2 − 3x + 2) − (x2 − 2) (x2 + x + 3) + 4 (x2 − x − 2).
b) (x − 3)(x + 2) + (x − 1)(x + 1) − (2x − 1)x.
c) (x + 1) (x2 − x + 1) − (x − 1) (x2 + x + 1).
d) (x + 5)(x + 4)(x − 2) − (x2 + 11x − 9) (x + 1) + 5x2 .
Ê Lời giải.
a)
5
x x3 + x2 − 3x + 2 − x2 − 2 x2 + x + 3 + 4 x2 − x − 2
= x4 + x3 − 3x2 + 2x − x4 − x3 − 3x2 + 2x2 + 2x + 6 + 4x2 − 4x − 8
= − 2.
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
b)
(x − 3)(x + 2) + (x − 1)(x + 1) − (2x − 1)x
= x2 + 2x − 3x − 6 + x2 − 1 − 2x2 + x = −7.
c)
(x + 1) x2 − x + 1 − (x − 1) x2 + x + 1
= x3 + 1 − x3 − 1 = 2.
d)
(x + 5)(x + 4)(x − 2) − x2 + 11x − 9 (x + 1) + 5x2
= x2 + 9x + 20 (x − 2) − x3 + 12x2 + 2x − 9 + 5x2
= x3 + 7x2 + 2x − 40 − x3 − 12x2 − 2x + 9 + 5x2 = −31.
c Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau
a) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
b) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc.
c) (x − y − z)2 = x2 + y 2 + z 2 − 2xy + 2yz − 2zx.
d) (x + y − z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 2yz − 2zx.
e) (x − y) (x3 + x2 y + xy 2 + y 3 ) = x4 − y 4 .
f) (x + y) (x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4 ) = x5 + y 5 .
g) (x + y + z) (x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx) = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz.
h) (x + y + z)3 = x3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x).
Ê Lời giải.
a) (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab.
b)
(x + a) (x + b)(x + c) = x2 + (a + b)x + ab (x + c)
= x3 + cx2 + (a + b)x2 + c(a + b)x + abx + abc
= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc.
c)
(x − y − z)2 = x2 − 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 − 2xy − 2zx + y 2 + z 2 + 2yz
= x2 + y 2 + z 2 − 2xy + 2yz − 2zx.
d)
(x + y − z)2 = x2 + 2x(y − z) + (y − z)2
= x2 + 2xy − 2zx + y 2 − 2yz + z 2
= x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 2yz − 2zx.
e)
(x − y) x3 + x2 y + xy 2 + y 3
= x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 − x3 y − x2 y 2 − xy 3 − y 4 = x4 − y 4 .
f)
(x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4
= x5 − x4 y + x3 y 2 − x2 y 3 + xy 4 + x4 y − x3 y 2 + x2 y 3 − xy 4 + y 5
= x5 + y 5 .
2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
6
g)
(x + y + z) x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx
= (x + y + z) x2 + y 2 + z 2 − (x + y + z) (xy + yz + zx)
= x3 + y 3 + z 3 + x y 2 + z 2 + y z 2 + x2 + z x2 + y 2
− x2 (y + z) − y 2 (z + x) − z 2 (x + y) − 3xyz
= x3 + y 3 + z 3 − 3xyz.
h)
(x + y + z)3 = x3 + 3x2 (y + z) + 3x (y + z)2 + (y + z)3
= x3 + 3x2 (y + z) + 3x (y + z)2 + y 3 + 3yz(y + z) + z 3
= x3 + y 3 + z 3 + 3(y + z) x2 + x(y + z) + yz
= x3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(x + z).
c Bài 4. Tìm x biết
a) 3(1 − 4x)(x − 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 80.
b) 5(2x + 3)(x + 2) − 2(5x − 4)(x − 1) = 128.
c) 2x2 + 3(x − 1)(x + 1) = 5x(x + 1).
d) (x + 2)(x + 2) − (x − 2)(x − 2) = 8x.
e) (2x − 1)(x2 − x + 1) = 2x3 − 3x2 + 2.
f) (x + 1)(x + 2)(x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0.
Ê Lời giải.
a) 3(1 − 4x)(x − 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 80.
Ta có
⇔
⇔
⇔
⇔
3(1 − 4x)(x − 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 80
3 x − 1 − 4x2 + 4x + 4 3x2 + 9x + 2x + 6 = 80
3 −4x2 + 5x − 1 + 4 3x2 + 11x + 6 = 80
−12x2 + 15x − 3 + 12x2 + 44x + 24 = 80
59x = 59 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
b) 5(2x + 3)(x + 2) − 2(5x − 4)(x − 1) = 128.
Ta có
⇔
⇔
⇔
⇔
5(2x + 3)(x + 2) − 2(5x − 4)(x − 1) = 128
5 2x2 + 4x + 3x + 6 − 2 5x2 − 5x − 4x + 4 = 128
5 2x2 + 7x + 6 − 2 5x2 − 9x + 4 = 128
10x2 + 35x + 30 − 10x2 + 18x − 8 = 128
53x = 106 ⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
7
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
c) 2x2 + 3(x − 1)(x + 1) = 5x(x + 1). Ta có
2x2 + 3(x − 1)(x + 1) = 5x(x + 1)
⇔ 2x2 + 3 x2 + x − x − 1 = 5x2 + 5x
⇔ 5x2 − 3 = 5x2 + 5x
3
⇔ −5x = 3 ⇔ x = − .
5
3
Vậy phương trình có nghiệm x = − .
5
d) (x + 2)(x + 2) − (x − 2)(x − 2) = 8x. Ta có
(x + 2)(x + 2) − (x − 2)(x − 2) = 8x
⇔ x2 + 2x + 2x + 4 − x2 + 2x + 2x − 4 = 8x
⇔ 0=0
Vậy phương trình vô số nghiệm.
e) (2x − 1) (x2 − x + 1) = 2x3 − 3x2 + 2.
Ta có
(2x − 1) x2 − x + 1 = 2x3 − 3x2 + 2
⇔ 2x3 − 2x2 + 2x − x2 + x − 1 = 2x3 − 3x2 + 2
⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
f) (x + 1)(x + 2)(x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0.
Ta có
⇔
⇔
⇔
⇔
(x + 1)(x + 2)(x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0
x2 + 2x + x + 2 (x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0
x2 + 3x + 2 (x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0
x3 + 5x2 + 3x2 + 15x + 2x + 10 − x3 − 8x2 + 7 = 0
17x = −17 ⇔ x = −1.
Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
c Bài 5. Cho a, b, c là ba số cố định và các số thực x, y, z thỏa mãn y + z = a, z + x = b,
x + y = c.
a) Biểu diễn ab theo x, y, z.
b) Chứng minh giá trị biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 3yz + 3zx không đổi khi x, y, z thay
đổi.
Ê Lời giải.
a) Biểu diễn ab theo x, y, z.
Ta có ab = (y + z)(x + y) = xy + y 2 + zx + yz = y 2 + xy + yz + zx.
2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
8
b) Chứng minh giá trị biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 3yz + 3zx không đổi khi x, y, z thay đổi.
Ta có
○ ab = (y + z)(z + x) = yz + xy + z 2 + zx = z 2 + xy + yz + zx.
○ bc = (z + x)(x + y) = zx + yz + x2 + xy = x2 + xy + yz + zx.
○ ca = (x + y)(y + z) = xy + zx + y 2 + yz = y 2 + xy + yz + zx.
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta có
ab + bc + ca = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 3yz + 3zx ⇔ P = ab + bc + ca.
Vậy giá trị biểu thức P không đổi khi x, y, z thay đổi.
c Bài 6. Cho x2 − y = a, y 2 − z = b, z 2 − x = c (a, b, c là các hằng số). Chứng minh giá trị biểu
thức sau không phụ thuộc vào giá trị các biến x, y, z.
P = x3 z − y 2 + y 3 x − z 2 + z 3 y − x2 + xyz(xyz − 1).
Ê Lời giải.
P =
=
=
=
=
=
=
=
x3 z − y 2 + y 3 x − z 2 + z 3 y − x2 + xyz(xyz − 1)
x3 z − y 2 + y 3 x − y 3 z 2 + z 3 y − z 3 x2 + x2 y 2 z 2 − xyz
x3 z − y 2 + x2 y 2 z 2 − z 3 + x y 3 − yz − y 3 z 2 + z 3 y
x3 z − y 2 + x2 z 2 y 2 − z + xy y 2 − z − yz 2 y 2 − z
z − y 2 x3 − x2 z 2 − xy + yz 2
z − y 2 x2 x − z 2 − y x − z 2
z − y 2 x − z 2 x2 − y
x2 − y y 2 − z z 2 − x = abc.
Vậy P không phụ thuộc vào giá trị các biến x, y, z.
c Bài 7. Xác định hệ số a, b, c biết
a) (x2 + cx + 2) (ax + b) = x3 − x2 + 2 với mọi x.
b) (ay 2 + by + c) (y + 3) = y 3 + 2y 2 − 3y với mọi y.
Ê Lời giải.
a) (x2 + cx + 2) (ax + b) = x3 − x2 + 2 với mọi x.
Ta có
x2 + cx + 2 (ax + b) = x3 − x2 + 2
⇔ ax3 + bx2 + acx2 + bcx + 2ax + 2b = x3 − x2 + 2
⇔ ax3 + (b + ac)x2 + (bc + 2a)x + 2b = x3 − x2 + 2
9
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
a=1
a = 1
b + ac = −1
⇔ b=1
Suy ra
bc + 2a = 0
c = −2.
2b = 2
Vậy a = 1, b = 1, c = −2.
b) (ay 2 + bx + c) (y + 3) = y 3 + 2x2 − 3y với mọi y.
Ta có
ay 2 + by + c (y + 3) = y 3 + 2y 2 − 3y
⇔ ay 3 + 3ay 2 + by 2 + 3by + cy + 3c = y 3 + 2y 2 − 3y
⇔ ay 3 + (3a + b)y 2 + (3b + c)y + 3c = y 3 + 2y 2 − 3y
a=1
a = 1
3a + b = 2
⇔ b = −1
Suy ra
3b + c = −3
c = 0.
3c = 0
Vậy a = 1, b = −1, c = 0.
Bài
A
5
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bình phương của một tổng
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
3. Áp dụng
c Ví dụ 1.(a) Tính (a + 1)2 .
(b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.
Ê Lời giải.
(a) Tính (a + 1)2 = a2 + 2a + 1.
(b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = (x + 2)2 .
2. Bình phương của một hiệu
1. Thực hiện phép tính [a + (−b)]2 = a2 + 2 · a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 .
3. Áp dụng
5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
10
ã
Å
1 2
.
c Ví dụ 2.(a) Tính x −
2
(b) Tính (2x − 3y)2 .
Ê Lời giải.
ã
Å ã2
Å
1
1
1
1 2
2
=x −2·x· +
= x2 − x + .
(a) x −
2
2
2
4
(b) (2x − 3y)2 = (2x)2 − 2 · (2x) · (3y) + (3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y 2 .
3. Hiệu hai bình phương
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có A2 − B 2 = (A − B)(A + B).
3. Áp dụng
c Ví dụ 3.(a) Tính (x − 1)(x + 1).
(b) Tính (x − 2y)(x + 2y).
Ê Lời giải.
(a) (x − 1)(x + 1) = x2 − 1.
(b) (x − 2y)(x + 2y) = x2 − (2y)2 = x2 − 4y 2 .
4. Lập phương của một tổng
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 .
3. Áp dụng
c Ví dụ 4.(a) Tính (x + 1)3 .
(b) Tính (2x + y)3 .
Ê Lời giải.
(a) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
(b) (2x + y)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · y + 2 · 2x · y 2 + y 3 = 8x3 + 12x2 y + 6xy 2 + y 3 .
11
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
5. Lập phương của một hiệu
1. Thực hiện phép tính [a + (−b)]3 = a3 + 3a2 (−b) + 3a(−b)2 + (−b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3 .
3. Áp dụng
Å
1
c Ví dụ 5.(a) Tính x −
3
ã3
.
(b) Tính (x − 2y)3 .
Ê Lời giải.
Å
ã
Å ã2 Å ã3
1 3
1
1
1
1
3
2 1
(a) x −
= x − 3x · + 3x ·
−
= x3 − x2 + x − .
3
3
3
3
3
27
(b) (x − 2y)3 = x3 − 3 · x2 · 2y + 3 · x · (2y)2 − (2y)3 = x3 − 6x2 y + 12xy 2 − 8y 3 .
6. Tổng hai lập phương
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 − a2 b + ab2 + a2 b − ab2 + b3 = a3 + b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có A3 + B 3 = (A + B) (A2 − AB + B 2 ).
3. Ta quy ước A2 − AB + B 2 là bình phương thiếu của hiệu A và B.
4. Áp dụng
c Ví dụ 6.(a) Viết x3 + 8 dưới dạng tích.
(b) Viết (x + 1)(x2 − x + 1) ở dạng tổng.
Ê Lời giải.
(a) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2) (x2 − 2x + 22 ) = (x + 2) (x2 − 2x + 4).
(b) (x + 1)(x2 − x + 1) = x3 + 1.
7. Hiệu của hai lập phương
1. Thực hiện phép tính (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 + a2 b + ab2 − a2 b − ab2 − b3 = a3 − b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có A3 − B 3 = (A − B) (A2 + AB + B 2 ).
3. Ta quy ước A2 + AB + B 2 là bình phương thiếu của tổng A và B.
4. Áp dụng
5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
12
c Ví dụ 7.(a) Tính (x − 1)(x2 + x + 1).
(b) Viết 8x3 − y 3 dưới dạng tích.
Ê Lời giải.
(a) (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 1.
(b) 8x3 − y 3 = (2x)3 − y 3 = (2x − y) [(2x)2 + 2xy + y 2 ] = (2x − y) (4x2 + 2xy + y 2 ).
BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
2. (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 .
3. A2 − B 2 = (A − B)(A + B).
4. (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 .
5. (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3 .
6. A3 + B 3 = (A + B)(A2 − AB + B 2 ).
7. A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 ).
B
BÀI TẬP
c Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau
a) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca;
b) (a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc.
Ê Lời giải.
a) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Ta có
(a + b + c)2 =
=
=
=
[(a + b) + c]2
(a + b)2 + 2 (a + b) c + c2
a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
b) (a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc
Ta có
(a − b + c)2 =
=
=
=
[(a − b) + c]2
(a − b)2 + 2 (a − b) c + c2
a2 − 2ab + b2 + 2ac − 2bc + c2
a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc.
13
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
c Bài 2. Điền vào các chỗ trống sau đây để có đẳng thức đúng.
a) (. . . − . . .)2 = a2 − 6ab + . . .;
1
b) (. . . + . . .)2 = . . . + m + ;
4
Ä
√ ä2
c) . . . − 2 = 9x2 − . . . + . . .;
d) . . . − 16y 4 = (x − . . .) (x + . . .);
e) (x − . . .) (x + . . .) = . . . − 3.
Ê Lời giải.
a) (. . . − . . .)2 = a2 − 6ab + . . .
Áp dụng hằng đẳng thức (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ta được
a2 − 6ab + . . . = a2 − 2 · a · (3b) + (3b)2 .
Vậy (a − 3b)2 = a2 − 6ab + 9b2 .
1
4
Áp dụng hằng đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ta được
b) (. . . + . . .)2 = . . . + m +
Å ã2
1
1
1
2
... + m + = m + 2 · m · +
.
4
2
2
Å
ã
1 2
1
Vậy m +
= m2 + m + .
2
4
Ä
√ ä2
c) . . . − 2 = 9x2 − . . . + . . .
Áp dụng hằng đẳng thức (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ta được
Ä
3x −
Ä√ ä2
Ä
√ ä2
√
√ ä2
√
2 = (3x)2 − 2 · 3x · 2 +
2 ⇒ 3x − 2 = 9x2 − 6 2x + 2.
d) . . . − 16y 4 = (x − . . .) (x + . . .)
Áp dụng hằng đẳng thức A2 − B 2 = (A − B) (A + B) ta được
x2 − 4y 2
2
= x − 4y 2
x + 4y 2 ⇒ x2 − 16y 4 = x − 4y 2 x + 4y 2 .
e) (x − . . .) (x + . . .) = . . . − 3
Áp dụng hằng đẳng thức A2 − B 2 = (A − B) (A + B) ta được
Ä
x−
Ä√ ä2
Ä
√ ä
√ äÄ
√ ä
√ äÄ
3 x + 3 = x2 −
3 ⇒ x − 3 x + 3 = x2 − 3.
c Bài 3. Điền vào chỗ trống để biểu thức trở thành bình phương của một tổng hoặc bình phương
của một hiệu.
5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
14
a) 4a2 x2 + 4abx + . . .;
b) 1 + 2x2 − . . .;
c) 25m2 − 40mn + . . .;
d) . . . − 3px + p2 ;
e) 16x2 + . . . − 24xy.
Ê Lời giải.
a) 4a2 x2 + 4abx + . . .
Vì 4a2 x2 + 4abx + b2 = (2ax)2 + 2 · 2ax · b + b2 = ...
KẾT NỐI TRI THỨC
VỚI CUỘC SỐNG
TOÁN 8
TOÁN
TẬP MỘT
1
Tóm tắt lý thuyết
2
Ví dụ minh họa
3
Bài tập tự luận
4
Bài tập trắc nghiệm
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
π
Mục lục
Phần I
Chương 1.
ĐẠI SỐ
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
1
Bài 1. Nhân đơn thức với đa thức
1
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Bài 2. Nhân đa thức với đa thức
4
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
10
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
23
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng
thức
26
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử28
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác (tách
hạng tử, thêm bớt, đặt ẩn phụ)
33
A
VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bài 10. Chia đơn thức cho đơn thức
A
42
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bài 11. Chia đa thức cho đơn thức
43
A
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Bài 12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Chương 2.
45
A
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
52
Bài 1. Bài 1,2,3,4. Phân thức đại số
52
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Bài 2. Bài 5, 6, 7, 8. Phép cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bài 3. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ - giá trị của phân thức đại số
A
Phần II
Chương 3.
56
65
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
HÌNH HỌC
TỨ GIÁC
82
Bài 1. Tứ giác
82
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Bài 2. Hình thang
87
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Bài 3. Hình thang cân
90
A
LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Bài 4. Đường trung bình
94
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Bài 6. Đối xứng trục
105
MỤC LỤC
ii
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Bài 7. Hình bình hành
110
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Bài 8. Đối xứng tâm
119
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bài 9. Hình chữ nhật - Đường thẳng song song với một đường thẳng cho
trước.
127
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Bài 11. Hình thoi
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Bài 12. Hình vuông
Chương 4.
Chương 5.
iii
p MỤC LỤC
141
156
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B
BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
174
Bài 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
174
Bài 2. BÀI TẬP
175
Đề thi tham khảo
181
Bài 1. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2009 - 2010
181
Bài 2. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2010 - 2011
183
Bài 3. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2011 - 2012
185
Bài 4. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2012 - 2013
187
Bài 5. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2013 - 2014
189
Bài 6. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2014 - 2015
191
Bài 7. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2015-2016
193
Bài 8. Đề kiểm tra giữa học kì I - Năm học 2016-2017
195
Bài 9. Đề kiểm tra học kì 1 - Năm học 2009 - 2010
197
Bài 10. Đề kiểm tra học kì I năm học 2010 - 2011
199
Bài 11. Đề kiểm tra học kì I năm học 2011 - 2012
202
Bài 12. Đề kiểm tra học kì 1 - Năm học: 2012 - 2013
206
Bài 13. Đề kiểm tra học kì I năm học 2013 - 2014
209
Bài 14. Đề kiểm tra học kì I năm học 2014 - 2015
213
Bài 15. Đề kiểm tra học kì I năm học 2015 - 2016 - Quận 1
216
Bài 16. Đề kiểm tra học kì I năm học 2016 - 2017 - Quận 1
219
MỤC LỤC
iv
PHẦN
I
ĐẠI SỐ
1
Chương
PHÉP
PHÉP NHÂN
NHÂN VÀ
VÀ PHÉP
PHÉP CHIA
CHIA CÁC
CÁC
ĐA
ĐA THỨC
THỨC
Bài
1
NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B
BÀI TẬP
c Bài 1. Thực hiện phép nhân:
a) (−5x2 ) (3x3 − 2x2 + x − 1);
ãÅ
ã
Å
1
1
2
3
− xy ;
b) −4x + y − yz
3
4
2
c) (−7mxy 2 ) (8m2 x − 3my + y 2 − 4ny);
d) −3a2 b (4ax + 2xy − 4b2 y).
Ê Lời giải.
a) (−5x2 ) (3x3 − 2x2 + x − 1) = −15x5 + 10x4 − 5x3 + 5x2 .
ãÅ
ã
Å
2
1
1
1
1
3
− xy = 2x4 y − xy 2 + xy 2 z.
b) −4x + y − yz
3
4
2
3
8
c) (−7mxy 2 ) (8m2 x − 3my + y 2 − 4ny) = −56m3 x2 y 2 + 21m2 xy 4 − 7mxy 4 + 28mnxy 3 .
d) −3a2 b (4ax + 2xy − 4b2 y) = −12a3 bx − 6a2 bxy + 12a2 b3 y.
c Bài 2. Rút gọn biểu thức
a) 3x2 y (2x2 − y) − 2x2 (2x2 y − y 2 );
b) 3x2 (2y − 1) − [2x2 (5y − 3) − 2x(x − 1)];
c) 2 · (x2n + 2xn y n + y 2n ) − y n (4xn + 2y n ) , với n ∈ N∗ ;
d) 3xn−2 (xn+2 − y n+2 ) + y n+2 (3xn−2 − y n−2 ) , (với n ∈ N, n > 2).
1
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Ê Lời giải.
a) 3x2 y (2x2 − y) − 2x2 (2x2 y − y 2 ) = 6x4 y − 3x2 y 2 − 4x4 y + 2x2 y 2 = 2x4 y − x2 y 2 .
b)
3x2 (2y − 1) − 2x2 (5y − 3) − 2x(x − 1) = 6x2 y − 3x2 − 10x2 y − 6x2 − 2x2 + 2x
= 6x2 y − 3x2 − 10x2 y + 6x2 + 2x2 − 2x
= −4x2 y + 5x2 − 2x.
c) 2·(x2n + 2xn y n + y 2n )−y n (4xn + 2y n ) = 2x2n +4xn y n +2y 2n −4xn y n −2y 2n = 2x2n , với n ∈ N∗ .
d) 3xn−2 (xn+2 − y n+2 ) + y n+2 (3xn−2 − y n−2 ) = 3x2n − 3xn−2 y n+2 + 3xn−2 y n+2 − y 2n = 3x2n − y 2n .
c Bài 3. Tìm x biết
a) 3(2x − 1) − x(3x − 2) = 3x(1 − x) + 2;
Å
ã
Å
ã
8
1
3
1 2
1
x−
;
x − 4 · x = −14 −
b) x −
4
2
2
2
3
c) 2x3 · (2x − 3) − x2 (4x2 − 6x + 2) = 0.
Ê Lời giải.
a)
3(2x − 1) − x(3x − 2)
6x − 3 − 3x2 + 2x
5x
x
=
=
=
=
3x(1 − x) + 2
3x − 3x2 + 2
5
1.
Vậy x = 1.
b)
Å
ã
1 2
1
1
x −
x−4 · x
4
2
2
1 2 1 2
x − x + 2x
4
4
3
2x + x
2
7
x
2
Å
ã
3
8
= −14 −
x−
2
3
3
= −14 − x + 4
2
= −10
= −10
x =
Vậy x =
−20
.
7
20
.
7
1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
2
c)
2x3 · (2x − 3) − x2 4x2 − 6x + 2
4x4 − 6x3 − 4x4 + 6x3 − 2x2
−2x2
x2
x
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0.
Vậy x = 0.
c Bài 4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y
a) 3x(x − 5y) + (y − 5x)(−3y) − 1 − 3 (x2 − y 2 );
b) x (x3 + 2x2 − 3x + 2) − (x2 + 2x) x2 + 3x(x − 1) + x − 12;
c) 3xy 2 (4x2 − 2y) − 6y (2x3 y + 1) + 6 (xy 3 + y − 3);
d) 2 (3xn+1 − y n−1 ) + 4 (xn+1 + y n−1 ) − 2x (5xn + 1) − 2 (y n−1 − x) , (với n ∈ N, n > 1).
Ê Lời giải.
a) 3x(x − 5y) + (y − 5x)(−3y) − 1 − 3 (x2 − y 2 ) = 3x2 − 15xy − 3y 2 + 15xy − 1 − 3x2 + 3y 2 = −1.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
b)
x x3 + 2x2 − 3x + 2 − x2 + 2x x2 + 3x(x − 1) + x − 12
= x4 + 2x3 − 3x2 + 2x − x4 − 2x3 + 3x2 − 3x + x − 12
= −12.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x.
c)
3xy 2 4x2 − 2y − 6y 2x3 y + 1 + 6 xy 3 + y − 3
= 12x3 y 2 − 6xy 3 − 12x3 y 2 − 6y + 6xy 3 + 6y − 18
= −18.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
d)
2 3xn+1 − y n−1 + 4 xn+1 + y n−1 − 2x (5xn + 1) − 2 y n−1 − x
= 6xn+1 − 2y n−1 + 4xn+1 + 4y n−1 − 10xn+1 − 2x − 2y n−1 + 2x
= 0.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của x và y.
3
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài
A
2
NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hãy làm theo các hướng dẫn sau
○ Hãy viết một đa thức bậc 3 có hai hạng tử và một đa thức bậc 4 có ba hạng tử (cà hai đa thức
đều có cùng một bến x).
○ Hãy nhân mỗi hạng tử của đa thức này với đa thức kia.
○ Hãy cộng các kết quả vừa tìm được.
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
2. Quy tắc
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng t của đa thức này với từng hạng tử của
đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B)(C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D.
3. Áp dụng
Làm tính nhẩm
a)
B
(x + 3) x2 + 3x − 5
=x3 + 3x2 − 5x + 3x2 + 9x − 15
=x3 + 6x2 + 4x − 15.
b)
(xy − 1)(xy + 5)
=x2 y 2 + 5xy − xy − 5
=x2 y 2 + 4xy − 5.
BÀI TẬP
c Bài 1. Thực hiện phép nhân:
a) (2x + 3y)(2x − 3xy + 4y).
b) (2a − 1) (a2 − 5 + 2a).
c) (5y 2 − 11y + 8)(3 − 2y).
d) (x + 1)(x − 2)(2x − 1).
e) (x − 2)(3x + 1)(x + 1).
2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
4
f) (3x2 + 11 − 5x)(8x − 6 + 2x2 ).
g) x2 + x + 1) (x5 − x4 + x2 − x + 1).
h) (x2 + x + 1) (x3 − x2 + 1).
i) (x2n + xn y n + y 2n ) (xn − y n )(x3n + y 3n ) (n ∈ N∗ ).
j) (a + b + c) (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).
k) (a + b + c + d) (a2 + b2 + c2 + d2 − ab − ac − ad − bc − bd − cd).
Ê Lời giải.
a) (2x + 3y)(2x − 3xy + 4y) = 4x2 − 6x2 y + 14xy − 9xy 2 − 12y 2 .
b) (2a − 1) (a2 − 5 + 2a) = 2a3 + 3a2 − 12a + 5.
c) (5y 2 − 11y + 8) (3 − 2y) = −10y 3 + 37y 2 − 49y + 24.
d) (x + 1)(x − 2)(2x − 1) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.
e) (x − 2)(3x + 1)(x + 1) = 3x3 − 2x2 − 7x − 2.
f) (3x2 + 11 − 5x) (8x − 6 + 2x2 ) = 6x4 + 14x3 − 36x2 + 118x − 66.
g) (x2 + x + 1) (x5 − x4 + x2 − x + 1) = −x6 + x4 + x3 + x2 + 1.
h) (x2 + x + 1) (x3 − x2 + 1) = x5 + x + 1.
i)
x2n + xn y n + y 2n (xn − y n ) x3n + y 3n (n ∈ N∗ )
=(x3x − y 3n )(x3n + y 3n ) = x6n − y 6n .
j) (a + b + c) (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = a3 + b3 + c3 − 3abc.
k)
(a + b + c + d) a2 + b2 + c2 + d2 − ab − ac − ad − bc − bd − cd
=a3 + b3 + c3 + d3 − 3abc − 3abd − 3acd − 3bcd.
c Bài 2. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) x (x3 + x2 − 3x + 2) − (x2 − 2) (x2 + x + 3) + 4 (x2 − x − 2).
b) (x − 3)(x + 2) + (x − 1)(x + 1) − (2x − 1)x.
c) (x + 1) (x2 − x + 1) − (x − 1) (x2 + x + 1).
d) (x + 5)(x + 4)(x − 2) − (x2 + 11x − 9) (x + 1) + 5x2 .
Ê Lời giải.
a)
5
x x3 + x2 − 3x + 2 − x2 − 2 x2 + x + 3 + 4 x2 − x − 2
= x4 + x3 − 3x2 + 2x − x4 − x3 − 3x2 + 2x2 + 2x + 6 + 4x2 − 4x − 8
= − 2.
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
b)
(x − 3)(x + 2) + (x − 1)(x + 1) − (2x − 1)x
= x2 + 2x − 3x − 6 + x2 − 1 − 2x2 + x = −7.
c)
(x + 1) x2 − x + 1 − (x − 1) x2 + x + 1
= x3 + 1 − x3 − 1 = 2.
d)
(x + 5)(x + 4)(x − 2) − x2 + 11x − 9 (x + 1) + 5x2
= x2 + 9x + 20 (x − 2) − x3 + 12x2 + 2x − 9 + 5x2
= x3 + 7x2 + 2x − 40 − x3 − 12x2 − 2x + 9 + 5x2 = −31.
c Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau
a) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
b) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc.
c) (x − y − z)2 = x2 + y 2 + z 2 − 2xy + 2yz − 2zx.
d) (x + y − z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 2yz − 2zx.
e) (x − y) (x3 + x2 y + xy 2 + y 3 ) = x4 − y 4 .
f) (x + y) (x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4 ) = x5 + y 5 .
g) (x + y + z) (x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx) = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz.
h) (x + y + z)3 = x3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x).
Ê Lời giải.
a) (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab.
b)
(x + a) (x + b)(x + c) = x2 + (a + b)x + ab (x + c)
= x3 + cx2 + (a + b)x2 + c(a + b)x + abx + abc
= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc.
c)
(x − y − z)2 = x2 − 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 − 2xy − 2zx + y 2 + z 2 + 2yz
= x2 + y 2 + z 2 − 2xy + 2yz − 2zx.
d)
(x + y − z)2 = x2 + 2x(y − z) + (y − z)2
= x2 + 2xy − 2zx + y 2 − 2yz + z 2
= x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 2yz − 2zx.
e)
(x − y) x3 + x2 y + xy 2 + y 3
= x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 − x3 y − x2 y 2 − xy 3 − y 4 = x4 − y 4 .
f)
(x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4
= x5 − x4 y + x3 y 2 − x2 y 3 + xy 4 + x4 y − x3 y 2 + x2 y 3 − xy 4 + y 5
= x5 + y 5 .
2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
6
g)
(x + y + z) x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx
= (x + y + z) x2 + y 2 + z 2 − (x + y + z) (xy + yz + zx)
= x3 + y 3 + z 3 + x y 2 + z 2 + y z 2 + x2 + z x2 + y 2
− x2 (y + z) − y 2 (z + x) − z 2 (x + y) − 3xyz
= x3 + y 3 + z 3 − 3xyz.
h)
(x + y + z)3 = x3 + 3x2 (y + z) + 3x (y + z)2 + (y + z)3
= x3 + 3x2 (y + z) + 3x (y + z)2 + y 3 + 3yz(y + z) + z 3
= x3 + y 3 + z 3 + 3(y + z) x2 + x(y + z) + yz
= x3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(x + z).
c Bài 4. Tìm x biết
a) 3(1 − 4x)(x − 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 80.
b) 5(2x + 3)(x + 2) − 2(5x − 4)(x − 1) = 128.
c) 2x2 + 3(x − 1)(x + 1) = 5x(x + 1).
d) (x + 2)(x + 2) − (x − 2)(x − 2) = 8x.
e) (2x − 1)(x2 − x + 1) = 2x3 − 3x2 + 2.
f) (x + 1)(x + 2)(x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0.
Ê Lời giải.
a) 3(1 − 4x)(x − 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 80.
Ta có
⇔
⇔
⇔
⇔
3(1 − 4x)(x − 1) + 4(3x + 2)(x + 3) = 80
3 x − 1 − 4x2 + 4x + 4 3x2 + 9x + 2x + 6 = 80
3 −4x2 + 5x − 1 + 4 3x2 + 11x + 6 = 80
−12x2 + 15x − 3 + 12x2 + 44x + 24 = 80
59x = 59 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
b) 5(2x + 3)(x + 2) − 2(5x − 4)(x − 1) = 128.
Ta có
⇔
⇔
⇔
⇔
5(2x + 3)(x + 2) − 2(5x − 4)(x − 1) = 128
5 2x2 + 4x + 3x + 6 − 2 5x2 − 5x − 4x + 4 = 128
5 2x2 + 7x + 6 − 2 5x2 − 9x + 4 = 128
10x2 + 35x + 30 − 10x2 + 18x − 8 = 128
53x = 106 ⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
7
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
c) 2x2 + 3(x − 1)(x + 1) = 5x(x + 1). Ta có
2x2 + 3(x − 1)(x + 1) = 5x(x + 1)
⇔ 2x2 + 3 x2 + x − x − 1 = 5x2 + 5x
⇔ 5x2 − 3 = 5x2 + 5x
3
⇔ −5x = 3 ⇔ x = − .
5
3
Vậy phương trình có nghiệm x = − .
5
d) (x + 2)(x + 2) − (x − 2)(x − 2) = 8x. Ta có
(x + 2)(x + 2) − (x − 2)(x − 2) = 8x
⇔ x2 + 2x + 2x + 4 − x2 + 2x + 2x − 4 = 8x
⇔ 0=0
Vậy phương trình vô số nghiệm.
e) (2x − 1) (x2 − x + 1) = 2x3 − 3x2 + 2.
Ta có
(2x − 1) x2 − x + 1 = 2x3 − 3x2 + 2
⇔ 2x3 − 2x2 + 2x − x2 + x − 1 = 2x3 − 3x2 + 2
⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
f) (x + 1)(x + 2)(x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0.
Ta có
⇔
⇔
⇔
⇔
(x + 1)(x + 2)(x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0
x2 + 2x + x + 2 (x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0
x2 + 3x + 2 (x + 5) − x3 − 8x2 + 7 = 0
x3 + 5x2 + 3x2 + 15x + 2x + 10 − x3 − 8x2 + 7 = 0
17x = −17 ⇔ x = −1.
Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
c Bài 5. Cho a, b, c là ba số cố định và các số thực x, y, z thỏa mãn y + z = a, z + x = b,
x + y = c.
a) Biểu diễn ab theo x, y, z.
b) Chứng minh giá trị biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 3yz + 3zx không đổi khi x, y, z thay
đổi.
Ê Lời giải.
a) Biểu diễn ab theo x, y, z.
Ta có ab = (y + z)(x + y) = xy + y 2 + zx + yz = y 2 + xy + yz + zx.
2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
8
b) Chứng minh giá trị biểu thức P = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 3yz + 3zx không đổi khi x, y, z thay đổi.
Ta có
○ ab = (y + z)(z + x) = yz + xy + z 2 + zx = z 2 + xy + yz + zx.
○ bc = (z + x)(x + y) = zx + yz + x2 + xy = x2 + xy + yz + zx.
○ ca = (x + y)(y + z) = xy + zx + y 2 + yz = y 2 + xy + yz + zx.
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta có
ab + bc + ca = x2 + y 2 + z 2 + 3xy + 3yz + 3zx ⇔ P = ab + bc + ca.
Vậy giá trị biểu thức P không đổi khi x, y, z thay đổi.
c Bài 6. Cho x2 − y = a, y 2 − z = b, z 2 − x = c (a, b, c là các hằng số). Chứng minh giá trị biểu
thức sau không phụ thuộc vào giá trị các biến x, y, z.
P = x3 z − y 2 + y 3 x − z 2 + z 3 y − x2 + xyz(xyz − 1).
Ê Lời giải.
P =
=
=
=
=
=
=
=
x3 z − y 2 + y 3 x − z 2 + z 3 y − x2 + xyz(xyz − 1)
x3 z − y 2 + y 3 x − y 3 z 2 + z 3 y − z 3 x2 + x2 y 2 z 2 − xyz
x3 z − y 2 + x2 y 2 z 2 − z 3 + x y 3 − yz − y 3 z 2 + z 3 y
x3 z − y 2 + x2 z 2 y 2 − z + xy y 2 − z − yz 2 y 2 − z
z − y 2 x3 − x2 z 2 − xy + yz 2
z − y 2 x2 x − z 2 − y x − z 2
z − y 2 x − z 2 x2 − y
x2 − y y 2 − z z 2 − x = abc.
Vậy P không phụ thuộc vào giá trị các biến x, y, z.
c Bài 7. Xác định hệ số a, b, c biết
a) (x2 + cx + 2) (ax + b) = x3 − x2 + 2 với mọi x.
b) (ay 2 + by + c) (y + 3) = y 3 + 2y 2 − 3y với mọi y.
Ê Lời giải.
a) (x2 + cx + 2) (ax + b) = x3 − x2 + 2 với mọi x.
Ta có
x2 + cx + 2 (ax + b) = x3 − x2 + 2
⇔ ax3 + bx2 + acx2 + bcx + 2ax + 2b = x3 − x2 + 2
⇔ ax3 + (b + ac)x2 + (bc + 2a)x + 2b = x3 − x2 + 2
9
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
a=1
a = 1
b + ac = −1
⇔ b=1
Suy ra
bc + 2a = 0
c = −2.
2b = 2
Vậy a = 1, b = 1, c = −2.
b) (ay 2 + bx + c) (y + 3) = y 3 + 2x2 − 3y với mọi y.
Ta có
ay 2 + by + c (y + 3) = y 3 + 2y 2 − 3y
⇔ ay 3 + 3ay 2 + by 2 + 3by + cy + 3c = y 3 + 2y 2 − 3y
⇔ ay 3 + (3a + b)y 2 + (3b + c)y + 3c = y 3 + 2y 2 − 3y
a=1
a = 1
3a + b = 2
⇔ b = −1
Suy ra
3b + c = −3
c = 0.
3c = 0
Vậy a = 1, b = −1, c = 0.
Bài
A
5
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bình phương của một tổng
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
3. Áp dụng
c Ví dụ 1.(a) Tính (a + 1)2 .
(b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.
Ê Lời giải.
(a) Tính (a + 1)2 = a2 + 2a + 1.
(b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = (x + 2)2 .
2. Bình phương của một hiệu
1. Thực hiện phép tính [a + (−b)]2 = a2 + 2 · a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 .
3. Áp dụng
5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
10
ã
Å
1 2
.
c Ví dụ 2.(a) Tính x −
2
(b) Tính (2x − 3y)2 .
Ê Lời giải.
ã
Å ã2
Å
1
1
1
1 2
2
=x −2·x· +
= x2 − x + .
(a) x −
2
2
2
4
(b) (2x − 3y)2 = (2x)2 − 2 · (2x) · (3y) + (3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y 2 .
3. Hiệu hai bình phương
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có A2 − B 2 = (A − B)(A + B).
3. Áp dụng
c Ví dụ 3.(a) Tính (x − 1)(x + 1).
(b) Tính (x − 2y)(x + 2y).
Ê Lời giải.
(a) (x − 1)(x + 1) = x2 − 1.
(b) (x − 2y)(x + 2y) = x2 − (2y)2 = x2 − 4y 2 .
4. Lập phương của một tổng
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 .
3. Áp dụng
c Ví dụ 4.(a) Tính (x + 1)3 .
(b) Tính (2x + y)3 .
Ê Lời giải.
(a) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
(b) (2x + y)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · y + 2 · 2x · y 2 + y 3 = 8x3 + 12x2 y + 6xy 2 + y 3 .
11
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
5. Lập phương của một hiệu
1. Thực hiện phép tính [a + (−b)]3 = a3 + 3a2 (−b) + 3a(−b)2 + (−b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3 .
3. Áp dụng
Å
1
c Ví dụ 5.(a) Tính x −
3
ã3
.
(b) Tính (x − 2y)3 .
Ê Lời giải.
Å
ã
Å ã2 Å ã3
1 3
1
1
1
1
3
2 1
(a) x −
= x − 3x · + 3x ·
−
= x3 − x2 + x − .
3
3
3
3
3
27
(b) (x − 2y)3 = x3 − 3 · x2 · 2y + 3 · x · (2y)2 − (2y)3 = x3 − 6x2 y + 12xy 2 − 8y 3 .
6. Tổng hai lập phương
1. Thực hiện phép tính (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 − a2 b + ab2 + a2 b − ab2 + b3 = a3 + b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có A3 + B 3 = (A + B) (A2 − AB + B 2 ).
3. Ta quy ước A2 − AB + B 2 là bình phương thiếu của hiệu A và B.
4. Áp dụng
c Ví dụ 6.(a) Viết x3 + 8 dưới dạng tích.
(b) Viết (x + 1)(x2 − x + 1) ở dạng tổng.
Ê Lời giải.
(a) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2) (x2 − 2x + 22 ) = (x + 2) (x2 − 2x + 4).
(b) (x + 1)(x2 − x + 1) = x3 + 1.
7. Hiệu của hai lập phương
1. Thực hiện phép tính (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 + a2 b + ab2 − a2 b − ab2 − b3 = a3 − b3 .
2. Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có A3 − B 3 = (A − B) (A2 + AB + B 2 ).
3. Ta quy ước A2 + AB + B 2 là bình phương thiếu của tổng A và B.
4. Áp dụng
5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
12
c Ví dụ 7.(a) Tính (x − 1)(x2 + x + 1).
(b) Viết 8x3 − y 3 dưới dạng tích.
Ê Lời giải.
(a) (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 1.
(b) 8x3 − y 3 = (2x)3 − y 3 = (2x − y) [(2x)2 + 2xy + y 2 ] = (2x − y) (4x2 + 2xy + y 2 ).
BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
2. (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 .
3. A2 − B 2 = (A − B)(A + B).
4. (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 .
5. (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3 .
6. A3 + B 3 = (A + B)(A2 − AB + B 2 ).
7. A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 ).
B
BÀI TẬP
c Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau
a) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca;
b) (a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc.
Ê Lời giải.
a) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Ta có
(a + b + c)2 =
=
=
=
[(a + b) + c]2
(a + b)2 + 2 (a + b) c + c2
a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
b) (a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc
Ta có
(a − b + c)2 =
=
=
=
[(a − b) + c]2
(a − b)2 + 2 (a − b) c + c2
a2 − 2ab + b2 + 2ac − 2bc + c2
a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc.
13
p CHƯƠNG 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
c Bài 2. Điền vào các chỗ trống sau đây để có đẳng thức đúng.
a) (. . . − . . .)2 = a2 − 6ab + . . .;
1
b) (. . . + . . .)2 = . . . + m + ;
4
Ä
√ ä2
c) . . . − 2 = 9x2 − . . . + . . .;
d) . . . − 16y 4 = (x − . . .) (x + . . .);
e) (x − . . .) (x + . . .) = . . . − 3.
Ê Lời giải.
a) (. . . − . . .)2 = a2 − 6ab + . . .
Áp dụng hằng đẳng thức (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ta được
a2 − 6ab + . . . = a2 − 2 · a · (3b) + (3b)2 .
Vậy (a − 3b)2 = a2 − 6ab + 9b2 .
1
4
Áp dụng hằng đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ta được
b) (. . . + . . .)2 = . . . + m +
Å ã2
1
1
1
2
... + m + = m + 2 · m · +
.
4
2
2
Å
ã
1 2
1
Vậy m +
= m2 + m + .
2
4
Ä
√ ä2
c) . . . − 2 = 9x2 − . . . + . . .
Áp dụng hằng đẳng thức (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ta được
Ä
3x −
Ä√ ä2
Ä
√ ä2
√
√ ä2
√
2 = (3x)2 − 2 · 3x · 2 +
2 ⇒ 3x − 2 = 9x2 − 6 2x + 2.
d) . . . − 16y 4 = (x − . . .) (x + . . .)
Áp dụng hằng đẳng thức A2 − B 2 = (A − B) (A + B) ta được
x2 − 4y 2
2
= x − 4y 2
x + 4y 2 ⇒ x2 − 16y 4 = x − 4y 2 x + 4y 2 .
e) (x − . . .) (x + . . .) = . . . − 3
Áp dụng hằng đẳng thức A2 − B 2 = (A − B) (A + B) ta được
Ä
x−
Ä√ ä2
Ä
√ ä
√ äÄ
√ ä
√ äÄ
3 x + 3 = x2 −
3 ⇒ x − 3 x + 3 = x2 − 3.
c Bài 3. Điền vào chỗ trống để biểu thức trở thành bình phương của một tổng hoặc bình phương
của một hiệu.
5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
14
a) 4a2 x2 + 4abx + . . .;
b) 1 + 2x2 − . . .;
c) 25m2 − 40mn + . . .;
d) . . . − 3px + p2 ;
e) 16x2 + . . . − 24xy.
Ê Lời giải.
a) 4a2 x2 + 4abx + . . .
Vì 4a2 x2 + 4abx + b2 = (2ax)2 + 2 · 2ax · b + b2 = ...
Các ý kiến mới nhất