GV PHẠM ĐÌNH QUANG
KẾT NỐI TRI THỨC
VỚI CUỘC SỐNG

TOÁN 8
TOÁN

TẬP HAI

1

Tóm tắt lý thuyết

2

Ví dụ minh họa

3

Bài tập tự luận

4

Bài tập trắc nghiệm

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

π

Mục lục
Phần I
Chương 1.

ĐẠI SỐ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1

Bài 1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
MỘT ẨN

1

A

TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC ĐƯA VỀ DẠNG Ax + B = 0

3

A

TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

5

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

B

VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

C

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bài 4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU. BÀI TẬP TỔNG HỢP

8

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

B

VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

C

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Bài 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

11

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

B

VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

C

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Bài 6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ XÁC ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT
PHƯƠNG TRÌNH

14

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

B

TÌM MỘT HOẶC NHIỀU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Bài 7. ÔN TẬP CHƯƠNG

16

ii

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

Chương 2.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

19

Bài 1. LIÊN HỆ GIỮ THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN
19
A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Chương 3.

23

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG 4

Phần II

21

24

HÌNH HỌC
ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

27

Bài 1. ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC. ĐỊNH LÍ ĐẢO, HỆ QUẢ
CỦA ĐỊNH LÍ THALES

27

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Bài 2. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA
2 TAM GIÁC
A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Bài 3. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Chương 4.

32

35

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Bài 4. Ôn tập chương

39

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH CHÓP ĐỀU

40

Bài 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

40

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Bài 2. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

44
p MỤC LỤC

ii

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Bài 3. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

B

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG 4
A

Chương 5.

iii

p MỤC LỤC

47

50

BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Bài 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

53

CÁC ĐỀ THI

60

iii

iv

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

p MỤC LỤC

iv

PHẦN

I

ĐẠI SỐ

Chương

1

PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH BẬC
BẬC NHẤT
NHẤT MỘT
MỘT
PHƯƠNG
ẨN
ẨN

Bài

A

1

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH. PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT MỘT ẨN

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
○ Phương trình ẩn x có dạng A(x) = B(x) (1), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai
biểu thức của cùng một biến x.
c Ví dụ 1. Ví dụ về phương trình một ẩn
• 3(x − 1) + 5 = 2x là phương trình ẩn x.
2
• − t − 3 = 3(3 − t) là phương trình ẩn t.
3
○ Nếu với x = x0 ta có A(x0 ) = B(x0 ) thì x = x0 là một nghiệm của phương trình (1).
○ Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,. . .
○ Phương trình không có nghiệm được gọi là phương trình vô nghiệm.
c Ví dụ 2. Ví dụ về nghiệm của phương trình
— Phương trình x2 = 4 có hai nghiệm là x = 2, x = −2.
— Phương trình x2 = −3 vô nghiệm.

c Ví dụ 3. Xét xem x = 2, x = −1 có là nghiệm của phương trình x2 − 2x = 0 không? Vì
sao?
¤ Lời giải.
Với x = 2 thay vào vế trái của phương trình ta được V T = 22 − 2 · 2 = 0 từ đó V T = V P .
Với x = −1 thay vào vế trái của phương trình ta được V T = (−1)2 − 2 · (−1) = 3 từ đó
V T 6= V P .
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình, x = −1 không là nghiệm của phương trình.

1

p

2

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

2. Giải phương trình
○ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
○ Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình, kí hiệu
là S.
c Ví dụ 4. Tập nghiệm của phương trình x2 = 4 là S = {−2; 2}.
Tập nghiệm của phương trình x2 = −3 là S = ∅.

3. Phương trình tương đương
○ Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm.
○ Để chỉ hai phương trình tương đương ta dùng kí hiệu “⇔”.
c Ví dụ 5. Phương trình 2x − 2 = 0 và phương trình x = 1 là hai phương trình tương
đương. Kí hiệu 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1.
Hai phương trình x2 = x và x = 1 có tương đương không? Vì sao?
¤ Lời giải.
Hai phương trình trên không tương đương do phương trình x2 = x có hai nghiệm là x = 0 và
x = 1.


4. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó a và b là hai số đã cho
và a 6= 0.
c Ví dụ 6. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?
a) 2x + 3 = 0.

c) −3x = 0.

b) 0x + 2 = 0.

d) 3 − 5x = 0.

¤ Lời giải.
Các phương trình 2x + 3 = 0, −3x = 0, 3 − 5x = 0 là phương trình bậc nhất do có hệ số a 6= 0.
Phương trình 0x + 2 = 0 không là phương trình bậc nhất do có hệ số a = 0.


5. Hai quy tắc biến đổi phương trình
○ Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế
kia và đổi dấu hạng tử đó.
c Ví dụ 7. 3x + 2 = 4 ⇔ 3x = 4 − 2.

○ Quy tắc nhân một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng
một số khác 0.
c Ví dụ 8. −5x = 32 ⇔ x =

32
.
−5
p 1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

2

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

6. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

b
ax + b = 0 (a 6= 0) ⇔ ax = −b ⇔ x = − .
a

ß
Vậy tập nghiệm của phương trình S =

B

™
−b
.
a

BÀI TẬP

c Bài 1. Giải các phương trình sau
a) 12 − 6x = 0.

b) 2x + x + 120 = 0.

c) x − 5 = 3 − x.

d) 7 − 3x = 9 − x.

e)

−5
2
x + 1 = x − 10.
9
3

f) 2(x + 1) = 3 + 2x.

c Bài 2. Tìm m sao cho phương trình
a) 2x − 3m = x + 9 nhận x = −5 là nghiệm.
b) 4x + m2 = 22 nhận x = 5 là nghiệm.
c) (2x + 1) (9x + 2m) − 5(x + 2) = 40 nhận x = 2 làm nghiệm.
d) 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + m) nhận x = 1 làm nghiệm.

Bài

A

2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC ĐƯA VỀ DẠNG AX + B = 0
TÓM TẮT LÍ THUYẾT

○ Khi giải một phương trình, người ta thường tìm cách biến đổi để đưa phương trình đó về dạng
đã biết cách giải (đơn giản nhất là dạng ax + b = 0 hay ax = −b). Việc bỏ dấu ngoặc hay quy
đồng mẫu chỉ là những cách thường dùng nhằm mục đích đó. Trong một vài trường hợp, ta
còn có những cách biến đổi khác đơn giản hơn.

c Ví dụ 1. Giải phương trình

x − 2 x + 1 3 − 2x
+
−
= 3.
2
3
6

¤ Lời giải.
3

p 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC ĐƯA VỀ DẠNG AX + B = 0

3

4

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

Ta có
x − 2 x + 1 3 − 2x
+
−
=3
2
3
6
3(x − 2) + 2(x + 1) − (3 − 2x)
18
⇔
=
6
6
⇔ 3x − 6 + 2x + 2 − 3 + 2x = 18
⇔ 7x − 7 = 18
⇔ 7x = 25
25
⇔ x= .
7
ß ™
25
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
7



○ Quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó, phương
trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x.
c Ví dụ 2. Giải phương trình
a) 2x + 3 = 2x − 1.

b) 2x + 3 = 2x + 3.
¤ Lời giải.

a) Ta có 2x + 3 = 2x − 1 ⇔ 2x − 2x = −1 − 3 ⇔ 0x = −4 (vô lý).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅.
b) Ta có 2x + 3 = 2x + 3 ⇔ 2x − 2x = 3 − 3 ⇔ 0x = 0 (luôn đúng).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = R.


o Có thể dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra đáp án số của một bài toán giải phương trình.

B

BÀI TẬP

c Bài 1. Giải các phương trình sau
a) 1,2 − (x − 0,8) = −2(0,9 + x).
b) 3,6 − 0,5(2x + 1) = x − 0,25(2 − 4x).
c) 2,3x − 2(0,7 + 2x) = 3,6 − 1,7x.
d) 3(2,2 − 0,3x) = 2, 6 + (0,1x − 4).
c Bài 2. Giải các phương trình sau
a) 3 − 4x(25 − 2x) = 8x2 + x − 300.
c)

3x + 2 3x + 1
5
−
= 2x + .
2
6
3

5x + 2 8x − 1
4x + 2
−
=
− 5.
6
3
5
x−3
1 − 2x
d)
=6−
.
5
3
b)

p 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC ĐƯA VỀ DẠNG AX + B = 0

4

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

e)

x+4 x−3
x
−
= .
4
6
3

f)

2(1 − 3x) 2 + 3x
3(2x + 1)
−
=7−
.
5
10
4

g)

x−1 1−x
2(x − 1)
−
=1−
.
2
4
3

h)

i)

3 − 2(x + 7)
3x − 2
−5=
.
6
4

k)

x + 1 2x − 9
x
+
= + 1.
3
−8
6

l)

7x
20x + 1,5
− 5(x − 9) =
.
8
6

m)

3x − 2 x − 1
14x − 3 2x + 1
+
=
−
.
5
9
15
9

n)

3(x − 3) 4x − 10,5
3(x + 1)
+
=
+ 6.
4
10
5

b)

2(3x + 1) + 1
2(3x − 1) 3x + 2
−5=
−
.
4
5
10

d)

x
x+1 x+2 x+3
+
+
+
= 4.
2000
2001
2002
2003

f)

x+1 x+2
x+3 x+4
+
=
+
.
9
8
7
6

4x + 1 2 x − 3
− −
= x.
3
3
6
Å
ã
Å
ã
3
13
+x .
j) 2 x +
=5−
5
5

c Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
c)

e)

g)

Bài

A

5(x − 1) + 2 7x − 1
2(2x + 1)
−
=
− 5.
6
4
7
x+1
3(2x + 1)
2x + 3(x + 1)
+
=
+
3
4
6
7 + 12x
.
12
57 − x
55 − x
53 − x
59 − x
+
+
+
+
41
43
45
47
51 − x
= −5.
49
x + 14
x + 15
x + 16
x + 17
+
+
+
+
86
85
84
83
x + 116
= 0.
4

3

h)

x − 76
x − 58
x − 36
x − 90
+
+
+
+
10
12
14
16
x − 15
= 15.
17

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

ñ
A(x) = 0
 Cách giải: A(x)B(x) = 0 ⇔
B(x) = 0.

o


A1 (x) = 0
A (x) = 0
 2
Có thể tổng quát lên tích nhiều số A1 (x)A2 (x) . . . An (x) = 0 ⇔ 
...
An (x) = 0.

 Để đưa một phương trình về dạng phương trình tích, ta cần chuyển tất cả các hạng tử sang vế
trái (lúc này, vế phải bằng 0), rút gọn và phân tích biểu thức thu được ở vế trái thành nhân tử. Sau
đó, giải phương trình và kết luận.

5

p 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

5

6

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

B

VÍ DỤ

c Ví dụ 1. Giải phương trình sau
a) (x − 1)(2x + 3) − (x − 1)(5 − 7x) = 0
b) x3 + x2 + x + 1 = 0
¤ Lời giải.
a) Ta có
(x − 1)(2x + 3) − (x − 1)(5 − 7x) = 0
⇔ (x − 1)(9x − 2) = 0

ñ
x=1
x−1=0
⇔
⇔
2
9x − 2 = 0
x= .
9
™
ß
2
.
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 1;
9
b) Ta có
x3 + x2 + x + 1 = 0
⇔ x2 (x + 1) + (x + 1) = 0


⇔ (x + 1) x2 + 1 = 0
ñ
x+1=0
⇔ 2
⇔ x = −1.
x + 1 = 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {−1}.


C

BÀI TẬP

c Bài 1. Giải các phương trình sau.
a) (2x + 1)(3x − 2) = (5x − 8)(2x + 1)
b) 4x2 − 1 = (2x + 1)(3x − 5)
c) (x + 1)2 = 4 (x2 − 2x + 1)
d) 2x3 + 5x2 − 3x = 0
e) (x − 1)(5x + 3) = (3x − 8)(x − 1)
f) 3x(25x + 15) − 35(5x + 3) = 0
g) (2 − 3x)(x + 11) = (3x − 2)(2 − 5x)
h) (x2 + 1) (4x − 3) = (x2 + 1) (x − 2)
p 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

6

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

i) (2x − 1)2 + (2 − x)(2x − 1) = 0
j) (x + 2)(3 − 4x) = x2 + 4x + 4
k) (x − 1)2 = 2 (x2 − 1)
l) 2(x + 2)2 − x3 − 8 = 0
m) (x − 1) (x2 + 5x − 2) − x3 + 1 = 0
n) (x − 3)2 = (2x + 7)2
o)

3
1
x − 1 = x(3x − 7)
7
7

p) (x2 − 2) (4x − 3) = (x2 − 2) (x − 12)
q) x2 + 7x + 12 = 0
r) x2 − 3x − 10 = 0
s) x2 + 2x − 15 = 0
t) 2x2 − 5x + 3 = 0
u) 3x2 − 5x − 2 = 0
√
v) (x − 2) + 3 (x2 − 2) = 0
√
√
w) x2 − 5 = (2x − 5)(x + 5)
x) x3 + 1 = x(x + 1)
c Bài 2. Giải các phương trình sau.
a) x3 + x2 + x + 1 = 0
b) x3 − 3x2 − 3x + 9 = 0
c) x3 − 8x2 + 21x − 18 = 0
d) x4 + x2 + 6x − 8 = 0
c Bài 3. Cho phương trình 4x2 + 4kx + k 2 − 25 = 0 (ẩn x).
a) Giải phương trình với k = 0
b) Giải phương trình với k = −3
c) Tìm tất cả các giá trị của k sao cho phương trình trên nhận x = −2 làm nghiệm.

7

p 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

7

8

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

4

Bài

A

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU. BÀI TẬP TỔNG
HỢP

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
 Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
 Giải phương trình vừa nhận được.
 Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

B

VÍ DỤ

c Ví dụ 1. Giải phương trình sau
a)

x
x+4
=
x−1
x+1

b)

x
2x
x
+
=
2(x − 3) 2x + 2
(x + 1)(x − 3)
¤ Lời giải.

a) Ta có
x+4
x
=
, ĐKXĐ: x 6= 1 và x 6= −1
x−1
x+1
x(x + 1)
(x + 4)(x − 1)
⇔
=
(x − 1)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
⇔ x(x + 1) = (x + 4)(x − 1)
⇔ x2 + x − x2 − 3x = −4
⇔ − 2x = −4
⇔ x = 2 (nhận).
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {2}.
b) Ta có
x
x
2x
+
=
, ĐKXĐ: x 6= −1 và x 6= 3
2(x − 3) 2x + 2
(x + 1)(x − 3)
x(x + 1)
x(x − 3)
4x
⇔
+
=
2(x − 3)(x + 1) 2(x + 1)(x − 3)
2(x + 1)(x − 3)
2
2
⇔ x + x + x − 3x − 4x = 0
⇔ − 7x = 0
⇔ x = 0 (nhận).
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0}.

p 4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU. BÀI TẬP TỔNG HỢP

8

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

C

BÀI TẬP

c Bài 1. Giải các phương trình sau.
a)

5
4
−
= −3
x−1 x−2

b) 3x −

x−1
1
=
x−2
2−x

2
1
x−4
−
+
=0
x2 − 4 x(x − 2) x(x + 2)
Å
ã
4x
1
1
d) 2
−1=6
−
x + 4x + 3
x + 3 2x + 2
c)

e)

2x2 − 5
4
1
+ 3
= 2
x−1
x −1
x +x+1

1
1
= x2 + 2
x
x
Å
ã
1
1
+ 2 (x2 + 2)
g) + 2 =
x
x
Å
ã
ã
Å
1 2
1 2
h) x + 1 +
= x−1−
x
x
f) x +

i)

1
3x2
2x
− 3
= 2
x−1 x −1
x +x+1

j) 1 +
k)

1
3
5
−
=
2x − 3 x(2x − 3)
x

l)

x+1 x−1
2 (x2 + 2)
+
=
x−2 x+2
x2 − 4

m)

1−x
2x + 3
+3=
x+1
x+1

n)

(x + 2)2
x2 + 10
−1=
2x − 3
2x − 3

o)

1 − 6x 9x + 4
x(3x − 2) + 1
+
=
x−2
x+2
x2 − 4

p) 1 +

9

12
1
=
x+2
8 + x3

x
5x
2
=
+
3−x
(x + 2)(3 − x) x + 2

q)

2
2x + 3
(2x − 1)(2x + 1)
+ 2
=
x−1 x +x+1
x3 − 1

r)

x3 − (x − 1)3
7x − 1
x
=
−
(4x + 3)(x − 5)
4x + 3 x − 5

p 4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU. BÀI TẬP TỔNG HỢP

9

10

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

s)

13
1
6
+
= 2
(x − 3)(2x + 7) 2x + 7
x −9

8x2
2x
1 + 8x
=
−
2
3 (1 − 4x )
6x − 3 4 + 8x
ã
Å
ã
Å
3x + 8
3x + 8
+ 1 = (x − 5)
+1
u) (2x + 3)
2 − 7x
2 − 7x
t)

v)

(x + 2)(1 − 3x)
5 − 2x (x − 1)(x + 1)
+
=
3
3x − 1
9x − 3

12x + 1 9x − 5
108x − 36x2 − 9
w)
−
=
6x − 2
3x + 1
4 (9x2 − 1)
x)

3
2
1
+
=
(x − 1)(x − 2) (x − 3)(x − 1)
(x − 2)(x − 3)

y)

x+1
2x + 5
x+4
+
=
x2 − 3x + 2 x2 − 4x + 3
x2 − 4x + 3

c Bài 2. Tìm các giá trị của a, sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.
a)

3a − 1 a − 3
+
.
3a + 1 a + 3

b)

10
3a − 1
7a + 2
−
−
.
3
4a + 12 6a + 18

c Bài 3. Giải các phương trình sau.
a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12.

e) x(x + 1)(x − 1)(x + 2) = 24.

b) (x2 + x + 6)(x2 + x + 3) = 4.
f) (x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7) = 1680.

c) (x2 + 5x)2 − 2(x2 + 5x) − 24 = 0.
d) (2 − x2 )2 + 3(2 − x2 ) + 2 = 0.

g) (x + 1)(x + 2)(x + 5)(x − 2) = −20.

c Bài 4. Giải các phương trình sau.
a)

x 2 + 1 x2 + 2
+
= −2.
x+1
x−2

b)

x
x+1 x+2
25
+
+
= .
x+1 x+2
x
6

c) x2 +

2x
= 8.
x−1

d)

2
5
2
5
−
=
−
.
x − 14 x − 13
x − 9 x − 11

e)

x2
4x2 − 20
322
x2
+
−
=
.
2
2
4
x + 2x + 2 x − 2x + 2
x +4
65

f)

x2

1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
= .
+ 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 x + 11x + 30
8
p 4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU. BÀI TẬP TỔNG HỢP

10

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

g)
h)

Bài

A

x2

2
5
2
9
+ 2
+ 2
= .
+ 4x + 3 x + 11x + 24 x + 18x + 80
52

x+8 x−8
x+4 x−4
+
=
+
+ 6.
x−1 x+1
x−2 x+2

5

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
○ Lập phương trình
— Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
— Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
— Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
○ Giải phương trình.
○ Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn,
nghiệm nào không, rồi kết luận.

B

VÍ DỤ

c Ví dụ 1. Một xe máy khởi hành từ Tp.HCM đi Vũng Tàu với vận tốc 35 km/h. Sau đó 50
phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô cũng xuất phát từ Tp.HCM đi Vũng Tàu với vận tốc
45 km/h. Biết quãng đường từ Tp.HCM - Vũng Tàu dài 120 km. Hỏi bao lâu kể từ khi xe máy
khởi hành, hai xe gặp nhau?
¤ Lời giải.
5
giờ.
6
Gọi thời gian xe máy đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp ô tô là x (h, x > 0).
5
Khi đó thời gian ô tô đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp xe máy là x − .
6
Quãng đường xe máy đi là 35x.
Å
ã
5
Quãng đường ô tô đi là 45 · x −
.
6
Vì hai xe đi cùng chiều mà gặp nhau nên quãng đường hai xe đi được sẽ bằng nhau, ta có phương
trình
Å
ã
5
35x = 45 · x −
6
Đổi 50 phút =

⇔ 10x = 37,5 ⇔ x = 3,75 (Thỏa mãn).
Vậy thời gian xe máy đi từ lúc khởi hành đến khi gặp xe ô tô là 3,75 h= 3 giờ 45 phút.
11

p 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH



11

12

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

c Ví dụ 2. Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải thiến kĩ
thuật, năng suất dệt của xí nghiệm tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp
đã hoàn thành số thảm cầm dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà
xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.
¤ Lời giải.
Gọi số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là x (tấm, x ∈ N, x > 0).
x
.
Năng suất dệt thông thường là
20
6 x
x
= · .
Năng suất dệt sau cải tiến là (1 + 0,2) ·
20
5 20
6 x
Số thảm dệt được trong 18 ngày thực tế là: ·
· 18.
5 20
Vì trong 18 ngày này, xí nghiệp đã hoàn thành hợp đồng và thêm được 24 tấm nên ta có phương
trình
6 x
·
· 18 = x + 24
5 20

⇔ 108x = 100x + 2400 ⇔ 8x = 2400 ⇔ x = 300 (Thỏa mãn).
Vậy số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là 300 tấm.

C



BÀI TẬP

c Bài 13. Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹp. Người ta lấy ra từ
thùng thứ hai số gói kẹo nhiều gấp 3 lần số gói kẹp lấy ra từ thùng thứ nhất nhất. Hỏi có bao
nhiêu gói kẹo được lấy ra ở thùng thứ nhất, biết rằng số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất
nhiều gấp 2 lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai?
c Bài 14. Ồng của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình
thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của ba người là 130. Hãy tính tuổi của Bình.
c Bài 15. Một ô tô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40 km/h. Sau 2 h nghỉ lại ở Thanh
Hóa, ô tô lại đi từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian cả đi và về là 10
h 45 phút kể cả nghỉ. Tính quãng đường Hà Nội - Thanh Hóa.
c Bài 16. Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng và dự kiến đến Hải Phòng lúc 10 giờ 30 phút.
Những mỗi giờ ô tô đi chậm hơn so với dự kiến là 10 km nên đến 11 giờ 20 phút xe mới tới Hải
Phòng. Tính quãng đường Hà Nội - Hải Phòng.
c Bài 17. Hai ô tô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163 km. Trong 43
km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc
ban đầu, trong khi đó xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó, xe thứ nhất đến Hà Nội sớm
hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.
p 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

12

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

c Bài 18. Một tàu hỏa từ Hà Nội đi Tp.HCM. 1 giờ 48 phút sau, một tàu hỏa khác khởi hành
từ Nam Định cũng đi Tp.HCM với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của tàu thứ nhất 5 km/h. Hai tàu
gặp nhau tại một nhà ga sau 4 giờ 48 phút kể từ khi tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc của
mỗi tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường đi từ Hà Nội đến Tp.HCM và cách ga Hà Nội
87 km.
c Bài 19. Lúc 7 giờ sáng, một cano xuôi dòng từ bến A đến bên B cách nhau 36 km, rồi ngay
lập tức trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc cano khi xuôi dòng, biết vận tốc
dòng nước là 6 km/h.
c Bài 20. Một cano xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến
A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc dòng nước là 2 km/h.
c Bài 21. Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho trong bảng dưới đây
Điểm (x)
1 2 3 4
5
6
7 8 9 10
Tần số (n) 0 0 2 ∗ 10 12 7 6 4
1
N =∗
trong đó có hai ô còn trống (thay bằng dấu ∗). Hãy điền số thích hợp vào ô trống nếu trung bình
của lớp đó là 6,06.
c Bài 22. Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất là a% (a là một số cho trước)
và lãi tháng này được tính gộp vào tháng sau.
a) Hãy viết biểu thức biểu thị số tiền lãi sau tháng thứ nhất và tổng số tiền lãi có được sau
tháng thứ hai.
b) Nếu lãi suất mỗi tháng là 1,2% và sau 2 tháng, tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì
lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?
c Bài 23. Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Phải pha thêm bao nhiêu gam nước để
dung dịch trở thành một dung dịch chứa 20% muối?
c Bài 24. Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa
là nếu người sử dụng dùng càng nhiều điện thì giá mối số điện (1 kWh) càng tăng lên theo các
mức sau:
Mức thứ nhất: Tính cho 100 số điện đầu tiên;
Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150, mỗi số đắt hơn 150 đồng so với mức thứ nhất;
Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200, mỗi số đắt hơn 200 đồng so với mức thứ hai;
v.v. . .
Ngoài ra, người dùng còn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng (VAT).
Tháng vừa rồi, nhà Cường dùng hết 165 số điện, trả 95700 đồng. Hỏi mỗi số điện ở mức thứ nhất
giá bao nhiêu?

13

p 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

13

14

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

Bài

A

6

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ XÁC ĐỊNH
NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trong tính toán, tính chính xác của kết quả là một trong những vấn đề được đặt lên hàng đầu.
Chúng ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi như là một công cụ hữu hiệu để hỗ trợ tính toán cũng như
kiểm tra kết quả một cách nhanh chóng.
Trong phần này, chúng ta sẽ xét một vài ví dụ minh họa trong việc kiểm tra nghiệm của một phương
trình bất kì. Để đơn giản, chúng ta chỉ nêu ví dụ phương trình bậc nhất và sử dụng máy tính CASIO
fx-580VN X để minh họa (các phương trình dạng khác và các máy tính loại khác cũng được thao
tác tương tự).

1. Kiểm tra x = x0 có là nghiệm ủa phương trình hay không
c Ví dụ 1. Kiểm tra x = 1 có là nghiệm của phương trình 2x + 1 = x không?
¤ Lời giải.
○ Bước 1: Chuyển phương trình về dạng A(x) = 0 (nghĩa là 2x + 1 − x = 0).
○ Bước 2: Nhập A(x) vào máy: Bấm tổ hợp phím sau:
2

ALPHA

(

1 -

+

ALPHA

(

Máy tính sẽ hiện lên:
D

2x+1-x

○ Bước 3: Kiểm tra nghiệm: Bấm tổ hợp phím sau:
CALC

1

=

=

Dòng thứ 2 trên máy tính sẽ hiện lên:
D

2x+1-x
2

Như vậy vế trái có giá trị là 2 khi thay x = 1 suy ra x = 1 không là nghiệm của phương trình.
Tiếp tục bấm phím CALC và nhập giá trị x0 (nếu có) để tiếp tục kiểm tra các nghiệm khác. Ví
- 1 = =
dụ: CALC
máy tính sẽ hiện lên số 0 ở dòng thứ 2. Kết luận x = −1 là một nghiệm
của phương trình.
p 6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ XÁC ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

14

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

o Các thao tác trên chính là cách tính giá trị của biểu thức A(x) tại x = x0 .


B

TÌM MỘT HOẶC NHIỀU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Trong trường hợp chưa biết giải phương trình, chúng ta có thể tìm một hoặc nhiều nghiệm của
phương trình bằng máy tính bỏ túi, từ đó có thể định hướng tư duy để tìm ra phương pháp giải
phương trình.
c Ví dụ 2. Giải phương trình 2x + 1 = x.
¤ Lời giải.
○ Bước 1: Nhập phương trình vào máy: Bấm tổ hợp phím sau:
2

ALPHA

(

+

1

ALPHA

CALC

ALPHA

(

Trên máy tính sẽ hiện lên:
D

2x+1=x

○ Bước 2: Tìm một nghiệm của phương trình: Bấm tổ hợp phím
tính sẽ hiện ra một nghiệm của phương trình là x = −1.

SHIFT

CALC

=

, máy

D

2x+1=x
x=
L-R=

-1
0

Đây là phương trình bậc nhất nên x = −1 là nghiệm duy nhất

c Ví dụ 3. Giải phương trình

x2

2
5
2
9
+ 2
+ 2
= .
+ 4x + 3 x + 11x + 24 x + 18x + 80
52
¤ Lời giải.

○ Bước 1. Sau khi nhập phương trình và máy tính dò được một nghiệm bằng cách cho giá trị
đầu vào của x thích hợp, chẳng hạn là gán cho x = 0 ta tìm được nghiệm x = 3, chúng ta cần
xác định thêm nghiệm khác bằng cách thực hiện bước 2.
D

2
5
+ 2
x2 + 4x + 3
x + 11x + 24

x=
L-R=
15

3
0

p 6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ĐỂ XÁC ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

15

16

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

○ Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng:
x2

2
5
2
9
+ 2
+ 2
−
= 0.
+ 4x + 3 x + 11x + 24 x + 18x + 80 52

Để loại trường hợp máy tính tiếp tục dò nghiệm x = 3, dùng các phím qua trái, qua phải trên
máy tính để thêm dấu ngoặc:
Å
ã
2
5
2
9
+
+
−
= 0.
x2 + 4x + 3 x2 + 11x + 24 x2 + 18x + 80 52
Sử dụng phím phân số và nhập thêm biểu thức để có thể đưa phương trình về dạng:
Å
ã
2
5
2
9
+
+
−
x2 + 4x + 3 x2 + 11x + 24 x2 + 18x + 80 52
= 0.
x−3
CALC
○ Bước 3. Tiếp tục dò nghiệm của phương trình bằng chức năng (SOLVE) SHIFT
(tương tự như bước 1, chẳng hạn gán giá trị đầu vào cho x = −13 ta tìm được nghiệm x = −14).
2 D
5
+ 2
+ ..
x2 + 4x + 3
x + 11x + 24
x−3

x=
L-R=

-14
0

Lặp lại các bước như trên nếu tiếp tục dò nghiệm của phương trình:
Å
ã
2
5
2
9
+
+
−
x2 + 4x + 3 x2 + 11x + 24 x2 + 18x + 80 52
= 0.
(x − 3)(x + 14)
máy tính sẽ hiện lên
D

Cannot Solve
[AC]
[/][.]

: Cancel
: Goto

tức phương trình không có nghiệm nào khác nữa.

o Máy tính chỉ hỗ trợ tìm nghiệm của phương trình, và một số kết quả sẽ bị sai số nếu số liệu
vượt quá bộ nhớ của máy tính. Do vậy, cần tìm hiểu thêm nhiều phương pháp khác nhau khi
giải phương trình, đồng thời tăng khả năng tư duy logic. Não bộ chính là máy tính tốt nhất của
con người!

Bài

7

ÔN TẬP CHƯƠNG
p 7. ÔN TẬP CHƯƠNG

16

p GV Phạm Đình Quang – Ô 0337.820.847

c Bài 1. Giải các phương trình sau
a)

x2 − x
x2 − x + 2
−
= 1.
x2 − x + 1 x2 − x − 2

c)

6
8
+
= 1.
(x + 1)(x + 2) (x − ...