Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chương

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC VUÔNG

1

Bài 1

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

Tóm tắt lý thuyết

Cho tam giác
Đặt

vuông tại
,

,

, đường cao

,

,

.
,

. Khi đó ta có các hệ thức sau













Các ví dụ

 Ví dụ 1.
Cho tam giác

vuông tại

, đường cao

. Biết

,

.

 Lời giải
Ta có
.

.

1

. Tính

,

,

,

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

.
.
 Ví dụ 2.
Cho tam giác
dài

vuông tại

và

, đường cao

.(

thuộc cạnh

) biết

,

. Tính theo

độ

.

 Lời giải
Theo định lí Pitago, ta có

suy ra
.

Lại có

.

 Ví dụ 3.
Cho tam giác
của

lên

vuông tại
,

, có

,

. Tính diện tích tứ giác

, đường cao
.

 Lời giải
Tứ giác

có ba góc

,

,

là góc vuông nên

là hình chữ nhật.
Do đó

.

Ta có
giác vuông

,
và

nên trong các tam
ta có

.

.
Suy ra

.

2

. Gọi

,

là hình chiếu

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
 Ví dụ 4.
Cho tam giác
,

vuông tại

, đường cao

. Biết

,

. Tính

,

,

.

 Lời giải
.
.
.
.

 Ví dụ 5.

Cho tam giác
Tính

,

vuông tại
,

,

, đường cao

. Biết

,

.

.

 Lời giải
Ta có

 Ví dụ 6. Cho tam giác

vuông tại

, đường cao

 Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra

.

3

và

. Tính

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Mặt khác, ta có

Suy ra

. Suy ra

. Từ đây, ta tìm được

,

4

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Ví dụ 7. Cho hình vuông

có cạnh bằng

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và là giao điểm của
và.
1. Chứng minh rằng
vuông góc với
.
2. Tính
.
3. Tính diện tích tứ giác

.
. Lời giải

1.Xét hai tam giác

và

có

,

Suy ra

, do đó
. Suy ra

Từ đây, ta có

.

2. Ta có

.

Suy ra

.

3. Ta có

.

 Ví dụ 8. Cho tam giác

vuông tại

có

, đường cao

. Tính

 Lời giải
Giả sử

. Ta có

. Mặt khác

,
suy ra
Do đó

5

. Từ (1) ta có

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Suy ra
Từ (1) và (2) ta có

 Ví dụ 9. Cho tam giác

vuông tại

. Chứng minh rằng

, đường cao

, kẻ

vuông góc với

tại

.

 Lời giải
Trong tam giác vuông
ta có

, suy ra

Mặt khác, trong tam giác vuông

, ta có

, hay

.Do đó
Vậy bài toán được chứng minh.
 Ví dụ 10. Cho hình vuông
Đường thẳng

cắt

tại

,

là điểm thay đổi trên cạnh

. Chứng minh rằng

(

không đổi.

 Lời giải
Qua

kẻ đường thẳng vuông góc với

, cắt

tại

. Xét hai tam giác

và
có

,

, do đó

(cùng phụ với góc

. Suy ra

Từ đó, ta có đpcm.

 Ví dụ 11. Cho tam giác
vuông góc với

cân tại

. Chứng minh rằng

, có góc

nhọn. Vẽ
6

. Suy ra

khác

và

).

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Lời giải
|Gọi
giác

là điềm đối xứng với
vuông tại

qua

, khi đó

nên tam

và có đường cao

. Suy ra

, suy ra

Mà

, nên ta có

.
Vậy bài toán được chứng minh.

Luyện tập
 Bài 1. Cho tam giác vuông

, đường cao

. Tính chu vi tam giác

,

, cạnh góc vuông

, cạnh huyền

,
 Lời giải

Xét tam giác vuông

có

.
.

Chu vi tam giác
là
 Chu vi tam giác

.
là

.

 Chu vi tam giác

.

 Bài 2. Cho tam giác vuông có các canh góc vuông bằng
chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
 Lời giải
Các hình chiều của các cạnh lên cạnh huyền là:

7

và

. Tìm cạnh huyền và các hình

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông




.

 Bài 3. Tìm các canh của tam giác vuông, biết đường cao và đường trung tuyền ứng với cạnh huyền
theo thứ tự là

và
 Lời giải

Vì

là trung tuyến của tam giác

Xét

vuông tại

nên

, suy ra

. Suy ra

Xét tam giác vuông

:



cm.


 Bài 4. Tìm các cạnh của tam giác vuông, biết đường cao ứmg với cạnh huyền là
giác vuông bằng

, diện tích tam

.
 Lời giải

Ta có
Đặt

.
Ta có

Khi
Khi
Khi đó ba cạnh của tam giác là
 Bài 5. Cho tam giác

và
vuông tại

, đường cao

Tính
8

. Biết

và

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Lời giải
Đặt

với

.

Ta có

Vậy

.

 Bài 6. Cho tam giác

vuông tại

, đường cao

. Tính chu vi tam giác

 Lời giải
Đặt

với

Suy ra

.
.

Ta có

.

Chu vi tam giác
bằng

.

 Bài 7. Cho tam giác

vuông tại

và diện tích tam giác

vái

và đường cao

bằng
 Lời giải

Giả sử tam giác đó là

có đường cao

Ta có
Đặt

. Ta có

9

Tính

biết

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Khi
Khi

.

Khi đó là ba cạnh của tam giác là
 Bài 8. Cho hình thang

và
vuông tại

và

.

. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại

. Biết

. Tính diện tích hình thang.
 Lời giải
Xét

vuông tại

, ta có:

Xét

vuông tại

, đường cao

ta có:




.

Ta có

Xét

.

vuông tại

ta có:

.

Mà

.

Vậy

(đvdt)

 Bài 9. Cho tam giác

vuông tại

. Đường cao

, cạnh bên

 Lời giải
Đặt

. Xét

vuông tại

, đường cao

10

ta có

.Tính độ dài

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Xét

vuông tại

ta có

Xét

vuông tại

ta có

.
.

 Bài 10. Cho hình chữ nhật
vuông góc với đường chéo

có các cạnh

. Từ

. Đường này cắt

tại

và

tại

kẻ đường thẳng

. Tính độ dài các đoạn

 Lời giải
Xét tam giác vuông

ta có

Xét tam giác vuông

có

 Bài 11. Tính diện tích hình thang
vuông góc với nhau,

, có đường cao bằng

, hai đường chéo

và

.
 Lời giải

Qua

vẽ đường thẳng song song với

có

nên

ở

.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông

Xét tam giác

, cắt

vuông tại

, ta có

, ta có

11

. Gọi

là đường cao của hình thang. Ta

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có

nên

.

Do đó

.

 Bài 12. Hình thang cân
có đáy lớn
vuông góc với cạnh bên. Tìm đường cao của hình thang.

, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo

 Lời giải
Gọi

là đường cao của hình thang, Đặt

Dễ dàng chứng minh được
Do đó
Xét

.

.
vuông tại

Từ đó suy ra

, ta có

. Do đó

. Đường cao của hình thang bằng

 Bài 13. Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi
cao ứng với cạnh huyền bằng

.
, hiệu giữa đường trung tuyến và đường

.
 Lời giải

Đặt

, ta có

. Theo các hệ thức trong tam giác vuông
(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Từ đó

.

Diện tích tam giác
là

.
12

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Bài 14. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh
đường cao

, đường trung tuyến

là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ

. Chứng minh rằng

.

 Lời giải
Đặt

thì

. Đặt

. Ta thầy

(nếu

hình (1))
(nếu

Nên

, xem hình (2))

.

Ta có

(cùng bằng

)

nên
 Bài 15. Tam giác

cân tại

, gọi

là giao điểm của các đường phân giác. Biết

. Tính độ dài

.
 Lời giải

Đường vuông góc với

tại

Ta có

phụ với

mà

phụ với
nên

,

Kẻ

cắt

ở

.

,
. Đặt

.

Xét tam giác vuông
có

Suy ra

.

13

, xem

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Bài 16 Tam giác
dài

có

, đường phân giác trong

dài

, đường cao

. Tính các độ dài
 Lời giải

Đặt

. Giả sử

Ta tính được

.

Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại
Ta có

, cắt

nên

ở

.

Suy ra

Theo tính chầt đường phân giác trong và ngoài của tam giác ta có
Mặt khác, thay

vào (1) và rút gọn được
Từ đó suy ra

. Vậy

 Bài 17. Cho tam giác

.

vuông tại

, đường cao

. Tính

biết

,

 Lời giải



 Bài 18. Cho tam giác

.

vuông tại

, đường cao
 Lời giải


nên

.
.


14

. Tính

biết

,

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Bài 19. Cho tam giác

vuông tại

, đường cao

. Tính

biết
 Lời giải
Ta có

.


Suy ra


 Bài 20. Cho tam giác
biết

vuông tại

, đường cao

. Tính

,
 Lời giải

Ta có

.

 Bài 21. Cho tam giác

vuōng tại

, đường cao

. Tính

.
 Lời giải
Ta có

(loại) hoặc

(thỏa mãn).
15

biết

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Do đó

, suy ra

 Bài 22. Cho tam giác

.

vuông tại

, đường cao

. Tính

biết

 Lời giải
Ta có

hoặc
Vai trò của

.

như nhau, có thể giả sử

và

, nên

'

 Bài 23. Cho tam giác

cân tại

có

là 2 đường cao

. Chứng minh rằng

a)

.

b)
 Lời giải

a) Kẻ
nên

vuông góc với

, suy ta

,

là đường trung bình trong tam giác

Trong tam giác

vuông tại

,

Vây
16

.

.

,

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

b) Ta có

.

Vậy

.

 Bài 24. Cho tam giác
Chứng

vuông cân tại

rằng

và một điểm

thuộc cạnh huyền

.
 Lời giải

Từ

kẻ

Do
vuông cân

, khi đó tam giác

nên

và

và tam giác

.

Suy ra
Mà

là hình chữ nhật nên

Do đó từ

.

, ta có

.

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2

Tóm tắt lý thuyết

1.1

Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Cho tam giác vuông và góc nhọn

như hình vẽ.

Khi đó



;



22 .


;





Nhận xét
Tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn dương

17

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông



1.2.

.

Tỉ só lượng giác của hai góc phụ nhau.

Định lí 4. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia

Hệ quả 4.
Cho hai góc

và

sao cho



khi đó






Bảng tỷ số lương giác của một số góc đặc biệt.
Tỉ số lượng giác góc

Các ví dụ
 Ví dụ 1.. Cho tam giác

vuông tại

. Biết

. Tính tỉ số lượng giác của góc

nhọn

 Lời giải

vuông tại

nên

.

Ta có

18

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Ví dụ 2. Dựng góc nhọn

biết

.

 Lời giải

Dựng góc vuông

.

Trên tia

, lấy điểm

sao cho

;

trên tia

, lấy điểm

sao cho

.

Góc

là góc

cần dựng.

Thật vây,

.

 Ví dụ 3. Hãy viết tỉ số lượng giác của các góc sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn

 Lời giải

 Ví dụ 4. Cho tam giác

vuông tại

có

và

 Lời giải
Tam giác

vuông tại

nên

Luyện tập

19

. Tính độ dài cạnh

và

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Bài 1. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn

rồi viết tỉ số lượng giác của góc

.

 Lời giải
Giả sử

.

 Bài 2. Cho tam giác

giác của góc

vuông tại

. Trong đó

. Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc

. Tính các tỉ số lượng
.

 Lời giải
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Vì góc

và góc

phụ nhau nên

 Bài 3. Hãy viết tỉ các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn

 Lời giải

 Bài 4. Dựng góc nhọn

biết

20

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1.

;

2.

;

3.

;

4.

 Lời giải

1.

.

Vẽ góc vuông

. Trên

lấy điềm

làm tâm, vẽ cung tròn bán kính
tại

. Khi đó

2.

sao cho

Lấy

sao cho cung tròn này cắt tia

nên

.

.

Vẽ góc vuông

. Trên

lấy điểm

làm tâm, vẽ cung tròn bán kính
. Khi đó

3.

. Lấy

sao cho cung tròn này cắt tia

nên

.

.

Vẽ góc vuông
Trên

sao cho

. Trên

lấy điểm

lấy điểm

sao cho

sao cho

.

. Khi đó

nên

.

4.

Vẽ góc vuông

.

Trên

lấy điềm

sao cho

.

Trên

lấy điểm

sao cho

.
21

tại

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Khi đó

nên

 Bài 5. Cho tam giác

.

vuông tại

có

. Biết

. Hãy tìm độ dài cạnh

.
 Lời giải
Xét

vuông tại

có

Áp dụng định lý Py-ta-go vào

vuông tại

ta có

 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức

1.

2.

.

 Lời giải
1. Ta có

2. Ta có

 Bài 7. Cho tam giác

có

. Chứng minh rằng
 Lời giải

Kẻ đường cao

của

.

Khi đó ta có

.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có

22

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lại có

hay
Vậy

 Bài 8. (*) Cho tứ giác

có

là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo.

Chứng minh rằng
 Lời giải
Giả sử hai đường chéo
nhọn. Kẻ đường cao

Ta có

cắt nhau tại
của

là góc

và đường cao

.

Diện tích

Diện tích
Khi đó

23

của

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

24

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 3

Tóm tắt lý thuyết
Định lí 5. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

1. Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề;
2. Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot
góc kề.
Vậy, trong tam giác

vuông tại



, ta có các hệ thức
.



.



.



.

Các dạng toán
Dạng 1. Giải tam giác vuông
Sử dụng mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để giải.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Cho tam giác
giác vuông

với các cạnh góc vuông

. Hãy giải tam

.

 Lời giải
Theo định lí Py-ta-go, ta có

Mặt khác

.

Tra bảng hay dùng máy tính bỏ túi, ta tìm được
Do đó

.
25

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Ví dụ 2. Cho tam giác

vuông tại

có

. Hãy giải tam giác vuông

.

 Lời giải
Ta có

.

Theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có

 Ví dụ 3. Cho tam giác

vuông tại
a)

.

có

. Hãy tính độ dài
b)

.

c) phân giác

.

 Lời giải
Ta có

,

Ta có

.

Vì

là phân giác góc

nên

.

Do đó

.
Dạng 2. Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp: Kẻ thêm đường cao để xuất hiện tam giác vuông; áp dụng các hệ thức lượng
trong tam giác vuông.
BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Cho tam giác
đường vuông góc kẻ từ

, trong đó
đến cạnh

. Gọi điểm
. Hãy tính độ dài đoạn thẳng

 Lời giải

26

.

là chân của

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có

.

Tương tự

. Khi đó , ta có

 Ví dụ 2. Cho tam giác

a) Chiều cao

có

. Hãy tính

và cạnh

.

b) Diện tích tam giác

.

 Lời giải
a) Tam giác

vuông tại

:

Mà
Tam giác

vuông tại

:

b) Ta có
Do vậy

Ta có :

Dạng 3. Toán thực tế
Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để giải quyết cac bài toán thực tế
27

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

BÀI TẬP MẪU

B

 Ví dụ 1.
Một cột đèn
Hãy tính

cao

có bóng in trên mặt đất là

dài

.
6m

( làm tròn đến phút ) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.
A

3,5m

C

 Lời giải
Tam giác

vuông tai

, ta có

. Suy ra

.

 Ví dụ 2.
Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là
chữ số thập phân thứ nhất ).

và có độ cao là

. Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến

C

A

H

 Lời giải
Đặt độ dốc là
Ta cằn tính độ dài canh

; độ cao là

; chiều dài mặt cầu trượt là cạnh

. Tam giác

vuông tại

.

, ta có

Luyện tập
Dễ
 Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại

, có

. Giải tam giác
28

, biết rằng

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

.
 Lời giải
Vì

vuông tại

nên ta có

 Bài 2. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài
trời tạo với mặt
đất một góc xấp xỉ bằng

. Các tia nắng

mặt

. Tính chiều cao của cột đèn .
 Lời giải

Giả sử chiều cao cột đèn là
là

. Xét tam giác

và chiều dài tia nắng trên mặt đất
vuông tại

có :

 Bài 3. Một chiếc diều với đoạn dây thả diều
một góc

dài

, dây thả diều tạo với phương thẳng đứng

(hình bên). Tính chiều cao của diều.
 Lời giải
vuông tại

Trong tam giác vuông

 Bài 4. Cho

vuông tại

Tính số đo các góc

và

, ta có

, đường cao

. Biết

.
 Lời giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

, ta có

nên
Trong tam giác vuông

, ta có

29

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trung bình
 Bài 5. Cho

có

,

và

. Gọi

là chân đường cao hạ từ
đỉnh

xuống

. Hãy tính

a) Độ dài đoạn thẳng

b) Độ dài đoạn thẳng
 Lời
giải

1. Đặt

. Ta có

Do đó
2. Ta có

.

 Bài 6. . Cho tam giác

vuôag tai

a) Giải tam giác vuông
b) Từ

.Biêt

.

kẻ đường thẳng vuông góc với

Tính độ dài các đoạn thẳng

1. Do tam giác

vuông tại

.

, đường thẳng này cắt đường thẳng

tại

và
.
 Lời giải

nên

. Ta có
.

2. Vì

 Bài 7. Cho

nên

. Xét tam giác

vuông tại

vuông tại

có

, do vậy

. Tính độ dài đường phân giác
 Lời giải

30

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có
Vì

.
là tia phân giác của góc

 Bài 8. Tinh diện tich

nên

. Trong tam giác vuông

có

.
 Lời giải

Kẻ đường cao

. Ta có
.

Mặt khác

Viy

.

Khó
 Bài 9. Khoảng cách giữa hai chân tháp
và
là ( như
hình vẽ ). Từ dinh
của tháp
nhin lên đinh
của tháp
ta được góc . Từ dinh
nhìn xuống chân
của tháp
ta
được góc

(so với phương nầm ngang

Hãy tìm chiều cao

nếu

.
và

 Lời giải
Xét tam giác

vuông tai

có

Xét tam giác
Do đó

vuông tai

có

.
.

.


Bài

10.

Cho

hình

thang
và

Tinh diên tich hình thang

có

,

.
.
 Lời giải

31

, ta có

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Vẽ
tại
Xét tam giác

. Khi đó ta có
vuông tal , có

Do vậy
Diện tích hinh thang

và

.

là
(dvdt).

 Bài 11. Cho hình thang cân
nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa cạnh bên hình
thang.
 Lời giải
Gọi

là giao điểm của

vuông góc với

Nên

và

. Kẻ

, chiều cao bằng 4 cm. Tính góc

và

.Ta có

. Suy ra

.

 Bài 12. Cho
có
.Tính số đo góc

, đường trung tuyến
 Lời giải

Kẻ đường cao

.

Ta eó
Đặt



. Ta có

Bài

13.

Tính

diện

tích

tam

giác

biết

.
 Lời giải

32

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Kẻ đường cao

. Ta có

Suy ra
Vậy

33

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 4

Ôn tập chương

Tóm tắt lý thuyết
Các kiến thức trọng tâm theo sách giáo khoa hiện hành .
Bài tập trắc nghiệm
 Bài 1.Cho tam giác
(A)

vuông tại ,Kẻ đường cao
. (B)

.Hệ thức nào sau đây là đúng ?

. (C)

.

(D)

.

 Lời giải
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông. Chọn đáp án (B)
 Bài 2. .Cho tam giác
vuông tại ,Kẻ đường cao
.Hệ thức nào sau đây là sai ?
(A)

. (B)

.
 Lời giải

Ta có

(C)

.

(D)

.

.

Chọn đáp án (D).

 Bài 3. Cho tam giác
sai ?
(A)
(B

.
.

có

, kẻ đường cao
(C)

.

(D)
 Lời giải

Có

là tam giác vuông tại

Chọn đáp án (B)

34

. Hệ thức nào sau đây là

.

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Bài 4. Cho tam giác

vuông tại

và có đường cao

. Hệ thức nào sau đây là đúng?

(A)

C)

(B)

(D)

.
.

 Lời giải

Chú ý là tam giác vuông tại

và đường cao là

.

Chọn đáp án (A)
 Bài 5. Tam giác
có đường cao
đúng?
(A) Tam giác
vuông tại .
(B)

thỏa mãn

thì khẳng định nào sau đây là

(C)

.

.

(D)

.

 Lời giải
Ta chỉ có

chứ tam giác

 Bài 6. Cho tam giác
(A)

vuông tại
.(B)

có thể không vuông. Chọn đáp án (C)

có

. Kẻ đường cao

.(C)
 Lời giải

Ta có
Chọn đáp án (B)

.

(D)

Độ dài

là

.

.

 Bài 7. Cho tam giác
(A)

ABC

vuông tại
.(B)

.

có

. Kẻ đường cao
(C)

. Biết
.(D)

35

, độ dài
.

là

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Lời giải

Ta có

Ta có
Chọn đáp án (A)

.

 Bài 8. Cho tam giác
(A)

.

vuông tại
(B)

.

và đường cao
(C)
 Lời giải

Ta có
Chọn đáp án (D)

. Biết

.

. Giá trị
(D)

.

.

 Bài 9. Cho tam giác

vuông tại

có

là đường cao. Độ dài

(A)

.

(C)

.

(B)

.

(D)

.

 Lời giải

Ta có
Ta có

là

.
mà

.
36

và

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chọn đáp án (B)
 Bài 10. Cho tam giác vuông tại

có đường cao

. Biết

. Độ dài

và

lần lượt là
(A)

.

(C)

(B)

.

(D)

.

.
 Lời giải

Ta có

.

Ta có tam giác

vuông tại

nên ta có

Ta có tam giác

vuông tại

nên ta có

.
.

Chọn đáp án (C)
 Bài 11. Tam giác vuông
độ dài là bao nhiêu?
(A)

có

(B)

.

lần lượt tỉ lệ với

.

(C)

. Biết

.

. Cạnh

(D)

có

.

 Lời giải
Ta có

.

Mà

.

Từ đó

.

Vậy

.

Chọn đáp án (C)
 Bài 12. Cho tam giác vuông

tại

và đường cao

.

37

. Biết

và

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tính tỉ số

.

(A) 5.

(B) 3.

(C) 4.

(D) 6.

 Lời giải

Ta có
Mà
.
Chọn đáp án (D)

 Bài 13. Cho tam giác vuông ABC vuông tại
Cho

và đường cao

. Kẻ

.

, hãy tính độ dài đoạn HE.
(D)

(A)

.

(B)

.

(C)

.

.

 Lời giải

Ta có
Ta có
Chọn đáp án (A)
 Bài 14. Cho tam giác vuông ABC vuông tại
Cho
(A)

và đường cao

.

, hãy tính độ dài đoạn BC.
.

(B)

.

(C)

 Lời giải
Ta có

. Kẻ

.
38

.

(D)

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Gọi

.

Mà

.

Ta có

.

Mà

.

Chọn đáp án (C)
 Bài 15. Cho hình thang vuông
đường chéo AC .
(A)

.

(B)

có

.

. Tính độ dài

(C)

.

(D)

.

 Lời giải
Kẻ

.

Ta có

.

Vậy

.
.

Chọn đáp án (D)
 Bài 16. Cho tam giác
(A)

.

vuông tại
(B)

có

. Khẳng định nào sau đây sai?

.

(C)

.

(D)

.

 Lời giải
Theo định nghĩa về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có

Chọn đáp án (C)
 Bài 17. Cho
(A)

, với
.

(B)

. Giá trị của

bằng

(C)

.

.
 Lời giải

Ta có
39

(D)

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chọn đáp án (A)
 Bài 18. Cho tam giác
(A)

vuông tại

.

(B)

, có

. Tính

.

(C)

.

(D)

.

 Lời giải
Ta có

.

Mặt khác,

.

Do

nên

. Suy ra

.

Chọn đáp án (B)
 Bài 19. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

 Lời giải
Định lí.
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
Do đó, chỉ có khẳng định

là đúng.

Chọn đáp án (B)
 Bài 20.
Cho tam giác như hình bên. Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng?
(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.
 Lời giải

Vì

và

là hai góc phụ nhau nên sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Chọn đáp án (D)
 Bài 21. Trong hình bên, cạnh
(A)

.

(B)

được tính như thế nào?
.
40

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

(C)

.

(D)

.
 Lời giải

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có
.
Chọn đáp án (C)
 Bài 22. Cho hình vẽ bên. HỎi khẳng định nào sau đây đúng?
(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.
 Lời giải

Chỉ có công thức

là đúng.

Chọn đáp án (D)

 Bài 23. Cho tam giác
(A)

vuông tại

.

(B)

và

. Hãy tính

.

(C)

.
.

(D)

.

 Lời giải
Ta có

.

Mặt khác,

và

.
.

Chọn đáp án (A)
 Bài 24. Tìm
(A)
(C)

.
.

trong hình vẽ bên.
(B)

.

(D)

.
 Lời giải
41

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Gọi tên các đỉnh như hình vẽ.
Ta có

.

Áp dụng định lí Py–ta–go trong tam giác vuông
.
.
Chọn đáp án (D)
 Bài 25. Khẳng định nào sau đây là sai?
(A)

.

(C)

(B)

.

.

(D)

.
 Lời giải

Vì

nên

.

Vì

.

Vì

nên

Vậy

.
là khẳng định sai.

Chọn đáp án (C)
 Bài 26. Cho hình vẽ bên. Hãy tính
(A)

.

(B)

(C)

.

(D)

.
.
.
 Lời giải

Kẻ

tại

. Tam giác

vuông tại

, ta có

.
Ta lại có, tam giác

vuông tại

, suy ra

.

42

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chọn đáp án (A)
 Bài 27. Cho góc nhọn
(A)

.

với

(B)

. Tính giá trị biểu thức
.

(C)

.

.

(D)

.

 Lời giải
Vì

nên chia tử và mẫu của P cho

ta được

.
Chọn đáp án (B)

 Bài 28. Cho tam giác
, biết
quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).
(A)

.

(B)

và

. Tính độ dài đoạn

.

(C)

.

(kết
(D)

.

 Lời giải
Ta có

.

Kẻ

tại

. Ta có
.

Lại có

.

Suy ra

.

Chọn đáp án (A)

 Bài 29. Cho hình thanh cân
Diện tích hình thang
(A)

với

. Biết

.

(B)

Vì

tại

.

gần bằng với số nào dưới đây?
.

(C)
 Lời giải

Kẻ

và

.

là hình thang với

nên

43

.

(D)

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

.
Tam giác

vuông tại

, suy ra
.

Khi đó diện tích hình thang

là

.
Chọn đáp án (C)
 Bài 30. Cho tứ giác
có diện tích
BD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A)

và

là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và

.

(B)

(C)

.

.

(D)

.

 Lời giải
Kẻ

tại H.

Ta có

.

Tương tự

.

Suy ra

.
Chọn đáp án (C)
 Bài 31. Cho tam giác
(A)

vuông tại
.

(B)

. Mệnh đề nào sau đây sai?
.

(C)

.
 Lời giải
44

.

(D)

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác

vuông tại

ta có

Theo định lí Py-ta-go thì

.
.
.

Vì

và

nên

.

Chọn đáp án (B)
 Bài 32. Trong tam giác vuông có góc nhọn

, mệnh đề nào sau đây đúng?

(A) Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cô-sin góc kề.
(B) Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc kề hay nhân với cô-tang
góc đối.
(C) Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là cô-sin của góc
(D) Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là tang của góc

.

.

 Lời giải
Ta có
Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cô-sin góc kề.
Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hay nhân với cô-tang
góc kề.
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc

.

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cô-tang của góc

.

Chọn đáp án (A)
 Bài 33. Cho tam giác
bằng
(A)

.

vuông tại

(B)

có

và

.

. Độ dài của cạnh

(C)

.

(D)

 Lời giải
Trong tam giác

vuông tại

thì

là cạnh đối của
.

Chọn đáp án (C)

45

, còn

là cạnh huyền nên

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Bài 34. Cho tam giác
(A)

.

vuông tại
(B)

thì có

và

.

(C)

. Tính độ dài của
.

(D)

.
.

 Lời giải
Trong tam giác
cạnh kề của

vuông tại J thì

lần lượt là cạnh đối,

nên
.

Chọn đáp án (B)

 Bài 35. Cho tam giác
nhiêu?

vuông tại

có

(A)

(B)

.

.

và

. Độ dài của

(C)

.

bằng bao

(D)

.

 Lời giải
Trong tam giác vuông

ta có
.

Chọn đáp án (D)

 Bài 36. Cho tam giác vuông tại
(A)

.

có

(B)

và

. Độ dài của

.

(C)

.

bằng
(D)

 Lời giải
Trong tam giác

vuông tại A, ta có

.
Chọn đáp án (C)

 Bài 37. Cho tam giác
bằng

vuông tại

có

và

46

. Độ dài của cạnh

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.

 Lời giải
Trong tam giác

vuông tại

Suy ra

thì

là góc nhọn.

.

Lại có

.

Vậy

.

Chọn đáp án (A)

 Bài 38. Cho tam giác
(A)

.

vuông tại

có

(B)

và

.

. Tính độ dài cạnh

(C)

.

(D)

.
.

 Lời giải
Trong tam giác

vuông tại A, ta có
.

Vậy

.

Chọn đáp án (D)

 Bài 39. Cho tam giác

có đường cao
. Tính

(A)

.

(B)

và trung tuyến

thuộc

.
.

(C)
 Lời giải

Ta có

(với

nên

.

Lại có

, nên

Suy ra

.

Vậy

.

.

47

.

(D)

). Biết

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chọn đáp án (D)

 Bài 40. Cho tam giác
Độ dài đường cao AH là

vuông tại

, đường cao

(A)

(B)

.

.

. Cho biết

(C)

và

.

(D)

.

.

 Lời giải
Tam giác

vuông tại A có

Trong tam giác vuông

, suy ra

.

ta có
.

Vậy

.

Chọn đáp án (B)
 Bài 41. Cho tam giác

vuông tại A có

và

. Tính giá trị của biểu thức

.
(A)

.

(B)

.

(C)
 Lời giải

Ta có

.

Khi đó

.

Vậy

.

Chọn đáp án (B).

48

.

(D)

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Bài 42. Cho tam giác
bằng
(A)

vuông tại

.

(B)

có

. Số đo của góc

.

(C)

.

(làm tròn đến phút)

(D)

.

 Lời giải.
Trong tam giác vuông

ta có

.
.
Chọn đáp án (A).
 Bài 43. Cho tam giác

có

và

. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh

.
(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.

 Lời giải.
Trong tam giác

có

là tam giác cân tại

, suy ra

Kẻ đường cao

nên nó
.

tại

. Xét tam giác vuông

có

.
Chọn đáp án (C).
 Bài 44. Cho tam giác
(A)

.

có
(B)

và
.

(C)

 Lời giải.

Kẻ

tại

. Xét tam giác vuông

ta có

49

. Độ dài của cạnh
.

(D)

bằng
.

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

.
Như vậy

.

Xét tam giác

vuông tại

ta có

Chọn đáp án (C).
 Bài 45. Cho tam giác

có

và

. Tính diện tích

của tam giác

.
(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.

 Lời giải.
Kẻ

tại

nên

là đường cao của tam giác

Xét tam giác vuông

.

ta có

Diện tích tam giác

là

Chọn đáp án (B).
 Bài 46. Cho tam giác
(A)

.

có
(B)

và
.

(C)

 Lời giải.
Trong tam giác
Kẻ
tại

ta có

.

.
50

. Độ dài của
.

bằng bao nhiêu?
(D)