Hình học
phẳng

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
CỦA TAM GIÁC .

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Định lí.
 Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện
thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.
 Ta có
G
là tia phân giác của
T
K
L

.

2. Chứng minh định lý trên.
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng
^
BAE =CAE
AD tại E . Ta có ^
^ =^
BEA (hai góc so le trong). Suy
(gt). Vì BE // AC nên CAE
BAE = ^
BEA . Do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra BE =
ra ^
AB (1).
Áp dụng hệ quả của định lí Thales đối với tam giác ACD,
ta có
Từ (1); (2) suy ra
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng



Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết.

Ví dụ 1. Tính

trong hình và làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

1

a)

b)

Lời giải
Hình a: Do

là đường phân giác trong của góc

Thay số ta có

nên ta có

. Khi đó

Hình b: Với
ta có

và do

.

là đường phân giác trong của góc

nên theo tính chất đường phân giác

Theo tính chất đường phân giác ta có

.
Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chững minh các hệ thức,
các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song



Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian
(nến cần) và định lí đảo của định lí Ta-lét để tính tỉ số đoạn thẳng hoặc chứng minh các
hệ thức. Từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau hay các đường thẳng song song.

Ví dụ 2. Cho tam giác cân
đường phân giác góc

cắt

a) Chứng minh

b) Tính

, có
tại

,

. Đường phân giác của góc

cắt

tại

.

.

theo

,

.

ĐS:

Lời giải
a) Theo tính chất đường phân giác trong của góc

;

(1)
2

và góc

ta có

.

,

.

Từ

và

suy ra

b) Tính

Theo

(2)

theo

. Theo định lý Thales đảo ta được

,

.

có

Do

nên

.

Ví dụ 3. Cho tam giác
tại

.

. Qua

kẻ

có

cm,

(

cm,

cm. Đường phân giác góc

).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng

,

b) Cho biết diện tích tam giác

và
là

.

ĐS:

;

. Tính diện tích các tam giác

ĐS:

a) Theo tính chất đường phân giác trong góc

;

Từ

Vì
b) Gọi

và

.

,

ta có

(1)

(2)

ta tính được

cm và

cm.

nên ta có
là đường cao kẻ từ

cm.
của

. Ta có

;

và

.
3

;
,

Lời giải

Mặt khác

cắt

,

.
theo

,

.

.

Suy ra

và

.

Chứng minh tương tự bằng cách trong

ta kẻ đường cao

ta được

;

và

.
Suy ra

. và

.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác

vuông tại

. Kẻ phân giác trong

cm. Tính độ dài các đoạn thẳng

,

của

(với

), biết

cm,

.
ĐS:

Lời giải
4

cm;

cm.

Theo tính chất đường phân giác ta có

.
Mặt khác, tam giác

Từ

và

vuông tại

nên theo định lý Py-ta-go ta có
.

(2)

ở

, phân giác của

ta có hệ

Bài 2. Cho tam giác
ở

(1)

, trung tuyến

. Phân giác của

cắt

cắt

.

a) Chứng minh
b) Gọi

song song với

là giao điểm của

.

và

. Chứng minh

là trung điểm của

.

Lời giải
a) Theo tính chất đường phân giác ta có

và

.

Mặt khác

nên

. Theo định lý Ta-lét đảo

ta được

.

b) Theo câu a) ta có

nên

Xét định lý Ta-lét cho

và

.
ta có

và

Từ đó, suy ra

mà

Bài 3. Cho tam giác
.
a) Tính

,

và

vuông tại

nên

.

hay

và

cm,

.

ĐS:
5

là trung điểm của

.

cm. Đường phân giác góc

cm;

cm;

cắt

cm.

tại

b) Vẽ đường cao

. Tính

,

và

.

ĐS:

cm,

cm,

cm.

Lời giải
a) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có

Theo tính chất đường phân giác trong của góc

ta có

.
Mặt khác ta lại có

cm.
Do đó

cm.

b) Ta có

cm.

Mặt khác

cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông

ta có
cm.

Suy ra

cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông

ta có
cm.

Bài 4. Cho tam giác cân

(

), đường phân giác góc

cắt

tại

và cho biết

cm,

cm.
a) Tính

,

.

ĐS:

b) Đường vuông góc với

tại

cắt đường thẳng

Lời giải
a) Ta có

và

cm.

.

(1)

(2)
6

kéo dài tại

. Tính

cm;
. ĐS:

cm.
cm.

Từ (1) và (2) suy ra

.
Từ đó suy ra

cm,

b) Vì

nên

cm.

là phân giác ngoài của góc

Khi đó ta có

. Suy ra

Suy ra

hay

của tam giác

.

.
. Do đó

cm.

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Tính

trong hình và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

a)

b)

Lời giải
Hình a: Ta có

.

Theo tính chất đường phân giác trong ta có

.
Hình b: Ta có

.

Theo tính chất phân giác trong ta có

.
Bài 6. Cho tam giác
cắt cạnh

tại

, trung tuyến

. Tia phân giác góc

. Chứng minh

.

7

cắt

tại

, tia phân giác góc

Lời giải
Theo tính chất đường phân giác ta có

và

Mặt khác

.

nên

.

Theo định lý Ta-lét đảo ta được
Bài 7. Cho tam giác
.

.

có

cm,

a) Tính độ dài các đoạn thẳng

,

cm,

cm. Đường phân giác góc

.

b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác

ĐS:

và

cm;

.

a) Áp dụng tính chất đường phân giác trong góc

;
Mặt khác
Từ
b) Gọi

và

.

là đường cao kẻ từ

. Ta có

(1)

(2)

ta có tính được

cm và
của

cm.

và

là diện tích

;

và

.
Suy ra

và

Do đó

.

.
8

cm.

ĐS:

Lời giải

. Ta có

cắt

.

tại

9