CHUYÊN ĐỀ 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
*) Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh
còn lại.

A

C

B
Ba hệ thức:
AB  BC  AC,
AC  AB  BC,
BC  AC  AB

gọi là các bất đẳng thức tam giác.
- Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh
còn lại.
- Nhận xét: Nếu kí
hiệu

a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác

thì:

bc abc.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác biết độ dài ba cạnh
I. Phương pháp giải:
+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh
là

a, b, c nếu:

a  b  c

b  a  hoặc b  c  a  b  c .
c
c  a 

b

+ Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất trong ba số a, b, c thì điều kiện để tồn tại
tam giác chỉ cần: a  b  c .
II. Bài toán.
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?
a) 6cm; 8cm; 16cm
b) 5,5cm; 3,1cm; 2, 4cm
1

c) 13, 7cm; 8, 2cm; 5,3cm
d) 8m; 12m; 7m

2

Lời giải:
a)
b)
c)
d)

Không vì 16  8  6
Có vì 5,5  3,1 2, 4
Không vì 13, 7  8, 2  5,3
Có vì 12  7  8

Bài 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có
thể tạo thành một tam giác hay không?
a) 3cm, 4cm, 6cm

b) 2m, 4m, 8 m

c) 1cm, 3cm, 4cm
Lời giải:

a) Ta có 6  3  4 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác.
b) Không vì 8  2  4 .
c) Không vì 4  1 3.
Bài 3. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây
không thể là ba cạnh của một tam giác.
a) 3cm, 3cm, 7 cm .

b) 6 m, 10 m, 8 m .

c) 2 m, 6 m, 8 m .

Lời giải:
a) Không vì 7  3  3 .
b) Ta có 10  6  8 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba canh của một tam giác.
c) Không vì 8  6  2 .
Bài 4. Một tam giác cân có một cạnh bằng 6 cm. Tính hai cạnh còn lại, biết chu vi của tam giác
đó bằng 20 cm.
Lời giải:
Nếu cạnh đã cho 6
cm

là cạnh đáy thì hai cạnh còn lại là 20  6 : 2  cm , thỏa mãn bất
7

đẳng thức tam giác.
Nếu cạnh đã cho 6
cm

là cạnh bên thì hai cạnh còn lại là 6cm và 20  2.6 
8

bất đẳng thức tam giác.
Bài 5. Cho tam giác ABC có
số nguyên (cm).

cm , thỏa mãn

BC  1cm, AC=7cm.Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài này là một

Lời giải:
Theo bất đẳng thức tam giác, trong ABC có: AC  BC  AB  AC  BC  6  AB  8
Do AB là số nguyên nên AB  7cm .
Bài 6. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 6 cm và 2cm . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng
số đo của cạnh đó theo cm là một số tự nhiên chẵn.
Lời giải:
3

Giả
sử

ABC có AB  6 cm, AC  2 cm .

4

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB  AC  BC  AB  AC . Suy ra 4  BC  8 . Mà BC có độ
dài theo cm là một số tự nhiên chẵn. Do đó, BC  6cm .
Bài 7. Cho tam giác ABC
có là một số nguyên (cm) .

AB  4 cm, AC  1cm . Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài

này

Lời giải:
Ta có AB  4 cm, AC  1cm .
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB  AC  BC  AB  AC . Suy ra 3  BC  5 . Mà BC có độ
dài theo cm là một số nguyên. Do đó, BC  4cm .
Bài 8. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m .
Lời giải:
Cách 1: Vì tam giác là tam giác cân nên sẽ có độ dại ba cạnh là
Th1 4 m; 4m; 8m trường hợp này không xảy ra vì 4 m + 4 m = 8 m
Th2 4 m; 8m; 8m trường hợp này xảy ra vì 4 m + 8 m > 8 m
Vậy chu vi tam giác là 20 m .
Cách 2:
Giả
sử

ABC có AB  4 m, AC  8 m .

Theo bất đang thức tam giác, ta có | AB  AC | BC  AB  AC .
Do đó, 4  BC  12 .
Mà

AB
C

cân nên suy
ra

BC  8 m . Vậy chu vi tam

giác

ABC là 20 m .

Bài 9. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 3cm và 7cm .
Lời giải:
Giả
sử

ABC có AB  3cm, AC  7 cm .

Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | AB  AC | BC  AB  AC . Do đó, 4  BC  10 . Mà ABC
cân nên suy ra BC  7 cm . Vậy chu vi tam giác ABC là 17 cm .
1

Bài 10. Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng

22 , 16, (đơn vị cm ). Tìm x , biết rằng x

là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể.
Lời giải:
1

1

Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | 2 16 | x  2 16 13,5  x  18,5 .
2

2

Mà x là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể nên x  14cm
Bài 11. Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC  AC  AB. Tính độ dài BC biết rằng độ dài đó là
5

một số chẵn (đơn vị: cm ).
Lời giải:

6

Ta có: BC  AB, BC  AC nên BC  BC  BC  AC  AB  BC , tức là 3.BC  18 .
Vậy

BC 
6cm

 1

Ta có: BC  AC  AB nên BC  BC  AB  AC  BC , tức là 2.BC  18 .
Vậy

BC  9cm

2

Do BC là số chẵn nên từ

1,

 2 suy ra


BC  8cm

Bài 12. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 7cm và 2cm còn độ dài cạnh thứ ba là một
số nguyên (đơn vị cm )?
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là: x ( cm ).
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: | 7  2 | x  7  2  5  x  9
Mà x là một số nguyên nên

x 6; 7;8 .

Do đó có 3 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài
I. Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức tam giác
+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: a  b  a  c  b  c .
+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
a  b
 a  c  b  d.

c


II. Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác OBC cân tại O . Trên tia đối của tia CO lấy điểm A . Chứng minh AB  AC
.
Lời giải:
O

C

B

A

Vì A thuộc tia đối CO nên C nằm giữa O; A OA  OC mà OB  OC  OA  OB
Xét tam giác OBA có AO  OB  AB (bất đẳng thức tam giác)  AC  OC  OB  AB .
7

Lại có OB 
OC

( OB cân tại O )  AC  AB (điều phải chứng minh).
C

8

Bài 2. Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB .
a) So sánh MC với AM  AC .
b) Chứng minh MB  MC  AB  AC .
Lời giải:

A
M

C

B

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AMC ta có: MC  AM  AC .
b) Ta có: MC  AM  AC  MB  MC  MB  MA  AC  AB  AC
Bài 3. Cho tam giác ABC , trên tia đối của tia AC lấy điểm K .
a) So sánh AB với KA  KB .
b) Chứng minh AB  AC  KB  KC .
Lời giải:

C
A

B

K

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AKB ta có: AB  KA  KB .
b) Ta có: AB  KB  KA  AB  AC  KB  KA  AC  KB  KC
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của

BC. Chứng minh rằng: AB  AC  2AM

Lời giải:

A

B

M
D
9

C

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD  MA.
Xé
MAB và MDC có
t
MA  MD

AMB 
DMC

(đối đỉnh)

MB  MC ( giả thiết )
 MAB  MDC (c.g.c)

 AB  DC (Hai cạnh tương ứng)

Xét ADC có : CD  AC  AD (bất đẳng thức trong tam giác)
Do đó : AB  AC  AD mà AD  2.AM
 AB  AC  2AM (đpcm)

Bài 5. Cho điểm M nằm trong
MA  MB  MC  AB  AC 
BC.

ABC . Chứng minh rằng: MB  MC  AB  AC . Từ đó suy

ra:

Lời giải:

A
D
M
C

B

Kẻ BM cắt cạnh AC tại D .
Xé
ABD có : BD  AB  AD  MB  MD  AB 
t

1

AD

Xé
MDC có : MC  MD 
t

2

DC

Từ 1 và  2  suy ra :
MB  MC  MD  AB  AD  DC  MD
 MB  MC  AB  AC

CMTT ta có : MA  MC  AB  BC và MA  MB  AC  BC
Do đó 2. MA  MB  MC  2. AB  AC  BC

 

:
10

MA  MB  MC  AB  AC  BC

Bài 6. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của
đường thẳng BM và cạnh AC . So sánh MA với MI  IA .
a) So sánh MA với MI  IA .

11

b) Chứng minh rằng MA  MB  IB  IA .
c) Chứng minh rằng IB  IA  CA  CB .
d) Chứng minh rằng MA  MB  CA  CB
Lời giải:

A
I
M
B

C

a) Xét AMI , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
MA  MI  IA

b) Từ câu a), suy ra
MA  MB  MI  IA  MB

Do đó, MA  MB  IA  IB
c) Xét IBC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
IB  BC  CI

Do đó IA  IB  CA  CB .
d) Từ câu a) kết hợp câu b) ta được
MA  MB  CA  CB

Bài 7. Cho điểm K nằm trong tam giác ABC . Gọi M là giao điểm của tia AK với cạnh BC .
a. Chứng minh rằng KA  KB  MA  MB  CA  CB .
b. So sánh KB  KC với AB  AC .
c. Chứng minh rằng KA  KB 

nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .

KC

Lời giải:

A

P

N
K

B

M
12

C

a. Chứng minh tương tự bài tập 5 ta được
KA  KB  MA  MB  CA  CB

b.Gọi N là giao điểm của tia BK với AC .
Tương tự câu a) ta có
KB  KC  NB  NC  AB  AC .

1

Do đó, KB  KC  AB  AC
c. Gọi P là giao điểm của tia CK với AB .
Ta có, KA  KC  PA  PC  BA  BC
Do đó, KA  KC  BA  BC .  2 
Từ câu a), suy ra KA  KB  CA  CB . 3
Từ 1 ,  2  và 3 , ta thấy
2(KA  KB  KC)  2( AB  AC  BC)  KA  KB  KC  AB  AC  BC

Vậy tổng KA  KB  KC nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .
Bài 8. Cho tam giác ABC . Trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh A , lấy điểm M không
trùng với A . Chứng minh rằng: MB  MC  AB  AC .
Lời giải:
D

M
A

C

B

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AB  AD  AB  AC  AD  AC 
CD

1

Xé AM và AMD có: MA : chung; BAM  DAM ( AM là tia phân giác của BAD ); MB 
t
B
MD
(cách vẽ)
 AMB 
AMC

c.g.c

 MB  MD (hai cạnh tương ứng)
 MB  MC  MD 

MC
13

2

14

Xé MCD , ta có: MC  MD  CD . 3
t
Từ 1 ,  2  ,

 3

suy ra MB  MC  AB  AC .

Bài 9. Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d . Tìm điểm C thuộc đường
thẳng d sao cho tổng AC  CB là nhỏ nhất.
Lời giải:

A
d
C
C'

B

Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d .
Vì C nằm giữa A và B nên ta có

AC  CB


Lấy điểm C ' bất kỳ trên d  C  C ' .
Nối
Áp dụng bất đẳng thức tam giác
vào
Từ (1) và (2) suy
ra

AC ' BC '


AB. 1

AC ', BC ' .

AC
'

ABC ' , ta

có

BC '  AB.  2

AC  CB .

Vậy C là điểm cần tìm.
Bài 10. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng về một phía của d và AB không song
song với d . Một điểm H di động trên d . Tìm vị trí của H sao
cho
Lời giải:

A

B

d
15

HA  HB là lớn nhất.

I

H

Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại I. Với điểm H bất kì thuộc d mà H không
trùng với I thì ta có tam giác HAB . Xét tam giác HAB có HA  HB  AB .
Khi H  thì HA  HB  AB .
I

16

Vậy HA  HB lớn nhất là bằng AB , khi đó H  là giao điểm của hai đường thẳng d và AB .
I

Bài 11. Cho góc xOy nhọn, trên Ox lấy hai điểm A và B (điểm A nằm giữa hai điểm O và B
). Trên Oy lấy hai điểm C và D (điểm C nằm giữa O và D ). Chứng
AB  CD AD  BC.

minh
Lời giải:

x
B
A
F
O

y

C

D

Gọi F là giao điểm của AD và BC .
Xé
AFB , ta có AB  AF 
t
FB

(bất đẳng thức tam giác). (1)

Xét CFD , ta có CDTừ 1,2
có

AB+CD
hay AB+CDBài 12. Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa
điểm A và B . Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây
đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.

Lời giải:
Nếu A; B;C thẳng hàng
thì

AC 

BC =
AB

Nếu A; B;C không thẳng hàng thì ta có tam giác ABC lúc đó
AC

17

 BC > AB

Do đó: AC  BC ngắn nhất khi AC  BC  AB
 A, B, C thẳng hàng và C nằm giữa A; B .

Vậy vị trí dặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn
ngắn nhất là C nằm giữa A và B (và A, B, C thẳng hàng)

18

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?
a)
b)
c)
d)

6cm; 7cm; 15cm
4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm
3cm; 7, 2cm; 5cm
3m; 10m; 7m

Bài 2. Cho tam giác ABC có cạnh AB 
dài cạnh AC là một số nguyên tố. 2cm
Bài 3.
AB cân.
Cho
C
a) Tính

AC, BC biết chu vi AB
C

b) Tính chu
vi

AB
C

là 23 cm và AB


biết AB  5cm,
AC

và cạnh BC  7 cm . Tính độ dài cạnh AC biết độ

5 cm.

 12cm.

Bài 4. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 1cm và 3cm còn độ dài cạnh thứ ba là một
số nguyên (đơn vị cm )?
Dạng 2.
Bài 1. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy . Từ điểm M ở trong góc xOz vẽ MH
vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), MK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). Chứng minh rằng:
MH  MK .
Bài 2.
Cho

 AC ) và AD là phân giác góc A ( D  ). Gọi E là một điểm bất
BC
AB
kỳ thuộc cạnh AD ( E khác A ). Chứng minh AC – AB  EC – EB .

Bài 3. Cho

AB
C

có (

AB
C

cân tại A , góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy

điểm E sao cho BD  CE , trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI  CA.
a, Chứng minh
rằng:

ABD 
ICE

và AB  AC  AD  AE .

b, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt
AB, AI lần lượt tại M và N ,
Chứng minh rằng: BM  CN .
c, Chứng minh rằng: Chu AB nhỏ hơn chu AMN .
vi
C
vi
Bài 4. Cho

vuông tại A , tia phân giác của góc B cắt AC
tại
BC  BA  DC  DA .
AB
C

19

D. Chứng minh rằng

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1.
a) Không vì 15  6  7.
b) Có vì 4, 2  3,5  2,5
c) Có vì 7, 2  3  5

20

d) Không vì 10  3  7

Bài 2.
Áp dụng tính chất quan hệ ba cạnh của một tam giác vào tam giác ABC ta có:
BC  AB  AC  BC  AB  5  AC  9

Mà độ dài cạnh AC là một số nguyên tố
nên

AC  7cm.

Bài 3.
a) Tính

AC, BC biết chu vi AB
C

là 23 cm và AB


5 cm.

Cách 1: Vì là tam giác cân
TH1 : ta có ba cạnh là 5cm , 5cm và 13 cm không có tam giác có ban cạnh vậy
Th2 : ta có ba cạnh là 5cm,x cm, x cm và chu vi bằng 23cm
Lúc đó 5 5  x  x  23  x  9 thỏa mãn tam giác có ba cạnh này
Vì AB


5 cm.nên AC 
BC

 9 cm.

Cách 2
* Nếu AB là cạnh bên và
 AB 
AC
 BC

 13
cm

 5 cm.

(không thỏa mãn BĐT tam giác).

* Nếu AB là cạnh bên và
 AB 
CB

cân tại A

AB
C

cân tại B

AB
C

 5 cm.

 AC  13 cm (không thỏa mãn BĐT tam giác).

*Nếu AB là cạnh đáy thì

AB
C

cân tại C

 AC  BC  23  5 : 2 9cm. (Thỏa mãn BĐT tam giác)

Vậy: AC  BC  9cm
b) Tính chu
vi

AB
C

biết AB  5cm,
AC

 12cm.
21

* Nếu
 AC

AB  BC  5cm là cạnh bên
 12cm là cạnh đáy

Khi đó 12  5  5 ( không thỏa mãn BĐT tam giác).
Vậy AC 

BC

 12cm là cạnh bên

AB  5cm là cạnh đáy

Chu vi

AB
Bài 4. C

là : 12 12  5  29 cm

22

Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là: x ( cm ).
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: |1 3 | x  1 3  2  x  4
Mà x là một số nguyên nên x  3 .
Do đó có 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2 .
Bài 1.
Gọi A là giao điểm của MK với Oz . Vẽ AB vuông góc với Ox ( B thuộc Ox ). Nối B với M

x
H
M

B

z

A
y

O

K

Xé KOA (K  900 và BOA (B  900 ) có:
)
t
OA chung

KOA  BOA ( Oz là tia phân giác xOy )
 KOA  BOA (cạnh huyền – góc nhọn)
 AK  AB (Hai cạnh tương ứng)

Xé
AB
t
M

có BM  AB 
AM

(Bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó : BM  AK  AM hay BM  MK
Mà MH  BM (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc )
 MH  MK

Bài 2.

( đpcm )

23

A

E

B

F

C

D

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF  AB .
Xé ABE và AFE có AB 
t
AF;
Do
đó

AFE (c.g.c) 

ABE


Trong tam giác EFC có FC
Mà BE 

FC 
AC

Từ 1 và

2

BE


EF.

 EC – EF

nên FC  EC – EB 1

EF

Lại có

BAE  FAE; AE chung .

nên FC 

– AF mà AF 
AB

AC

– AB  2 

suy ra AB – AC  EC – EB.

Bài 3.
A
M
C

B

D

E

O
N
I

a,
CM:

ABD 
ICE

c.g.c , Ta có :

AB  AC  AI

Vì ABD  ICE  AD  EI
Áp dụng BĐT
trong
b,

CM:

AEI : AE  EI 
AI
BDM  CEN

hay AE  AD  AB  AC

24

g.c.g

 BM  CN

c, Vì BM  CN


AB  AC  AM  AN 1

Có BD  CE (gt),  BC  DE
Gọi O là giao của MN và BC


OM  OD
 MO  ON  OD  OE  MN  DE  MN  BC

ON

OE


25

2

Từ

1

và  2  ta có : chu vi
của

nhỏ hơn chu vi
của

AB
C

AMN

Bài 4.

B
1 2

H
A

C

D

Xé ADB và HDB có: BD : cạnh huyền
t
chung;

B1 
B2

( BD là tia phân giác của B )

 ADB  HDB (cạnh huyền-góc nhọn)
 BA  BH; DA  DH (hai cạnh tương ứng)

Xé HDC vuông tại H có DC  DH và HC  DC  DH (bất đẳng thức tam giác)
t
Suy ra BC  BH  HC  DC  DA (vì DH  DA )
Do đó, BC  BA  DC  DA (vì BH  BA )

PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1:
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?
a) 6cm; 8cm; 16cm

b) 5,5cm; 3,1cm; 2, 4cm

d) 13, 7cm; 8, 2cm; 5,3cm

c) 8m; 12m; 7m

Bài 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có
thể tạo thành một tam giác hay không?
a) 3cm, 4cm, 6cm

b) 2m, 4m, 8 m

c) 1cm, 3cm, 4cm

Bài 3. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây
không thể là ba cạnh của một tam giác.
26

a) 3cm, 3cm, 7 cm .

b) 6 m, 10 m, 8 m .

27

c) 2 m, 6 m, 8 m .

Bài 4. Một tam giác cân có một cạnh bằng 6 cm. Tính hai cạnh còn lại, biết chu vi của tam giác
đó bằng 20 cm.
Bài 5. Cho tam giác ABC có
số nguyên (cm).

BC  1cm, AC=7cm.Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài này là một

Bài 6. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 6 cm và 2cm . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng
số đo của cạnh đó theo cm là một số tự nhiên chẵn.
Bài 7. Cho tam giác ABC
có là một số nguyên (cm) .

AB  4 cm, AC  1cm . Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài

này

Bài 8. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m .
Bài 9. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 3cm và 7cm .
1

Bài 10. Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng

22 , 16, (đơn vị cm ). Tìm x , biết rằng x

là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể.

Bài 11. Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC  AC  AB. Tính độ dài BC biết rằng độ dài đó là
một số chẵn (đơn vị: cm ).
Bài 12. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 7cm và 2cm còn độ dài cạnh thứ ba là một
số nguyên (đơn vị cm )?
Dạng 2:
Bài 1. Cho tam giác OBC cân tại O . Trên tia đối của tia CO lấy điểm A . Chứng minh AB  AC
.
Lại có OB 
OC

( OB cân tại O )  AC  AB (điều phải chứng minh).
C

Bài 2. Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB .
c) So sánh MC với AM  AC .
d) Chứng minh MB  MC  AB  AC .
Bài 3. Cho tam giác ABC , trên tia đối của tia AC lấy điểm K .
c) So sánh AB với KA  KB .
d) Chứng minh AB  AC  KB  KC .
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của
Bài 5. Cho điểm M nằm trong
MA  MB  MC  AB  AC 
BC.

BC. Chứng minh rằng: AB  AC  2AM

ABC . Chứng minh rằng: MB  MC  AB  AC . Từ đó suy

ra:

Bài 6. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của
đường thẳng BM và cạnh AC . So sánh MA với MI  IA .
a) So sánh MA với MI  IA .
b) Chứng minh rằng MA  MB  IB  IA .
28

c) Chứng minh rằng IB  IA  CA  CB .

29

d) Chứng minh rằng MA  MB  CA  CB
Bài 7. Cho điểm K nằm trong tam giác ABC . Gọi M là giao điểm của tia AK với cạnh BC .
a. Chứng minh rằng KA  KB  MA  MB  CA  CB .
b. So sánh KB  KC với AB  AC .
c. Chứng minh rằng KA  KB  KC nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .
Bài 8. Cho tam giác ABC . Trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh A , lấy điểm M không
trùng với A . Chứng minh rằng: MB  MC  AB  AC .
Bài 9. Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d . Tìm điểm C thuộc đường
thẳng d sao cho tổng AC  CB là nhỏ nhất.
Bài 10. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng về một phía của d và AB không song
song với d . Một điểm H di động trên d . Tìm vị trí của H sao
cho

HA  HB là lớn nhất.

Bài 11. Cho góc xOy nhọn, trên Ox lấy hai điểm A và B (điểm A nằm giữa hai điểm O và B
). Trên Oy lấy hai điểm C và D (điểm C nằm giữa O và D ). Chứng
minh

AB  CD


AD  BC.

Bài 12. Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa
điểm A và B . Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây
đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?
e)
f)
g)
h)

6cm; 7cm; 15cm
4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm
3cm; 7, 2cm; 5cm
3m; 10m; 7m

Bài 2. Cho tam giác ABC có cạnh AB 
dài cạnh AC là một số nguyên tố. 2cm
Bài 3.
AB cân.
Cho
C

và cạnh BC  7 cm . Tính độ dài cạnh AC biết độ

30

a) Tính

AC, BC biết chu vi AB
C

b) Tính chu
vi

AB
C

là 23 cm và AB

biết AB  5cm,
AC



 12cm.

31

5 cm.

Bài 4. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 1cm và 3cm còn độ dài cạnh thứ ba là một
số nguyên (đơn vị cm )?
Dạng 2.
Bài 1. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy . Từ điểm M ở trong góc xOz vẽ MH
vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), MK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). Chứng minh rằng:
MH  MK .
Bài 2.
Cho

 AC ) và AD là phân giác góc A ( D  ). Gọi E là một điểm bất
BC
AB
kỳ thuộc cạnh AD ( E khác A ). Chứng minh AC – AB  EC – EB .

Bài 3. Cho

AB
C

có (

AB
C

cân tại A , góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy

điểm E sao cho BD  CE , trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI  CA.
a, Chứng minh
rằng:

ABD 
ICE

và AB  AC  AD  AE .

b, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt
AB, AI lần lượt tại M và N ,
Chứng minh rằng: BM  CN .
c, Chứng minh rằng: Chu AB nhỏ hơn chu AMN .
vi
C
vi
Bài 4. Cho

vuông tại A , tia phân giác của góc B cắt AC
tại
BC  BA  DC  DA .
AB
C

32

D. Chứng minh rằng