BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BUNHIACOPXKI

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI:
Cho n số không âm a1, a2, a3,....,an, ta có
a1+ a2 + a3 +....+an n. Dấu bằng xãy ra khi n số này đều bằng nhau
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI:
Cho hai bộ n số (a1, a2, a3,....,an) , (b1, b2, b3,....,bn),ta có :
(a1b1 + a2b2 + ....+anbn)2
Dấu bằng xãy ra khi
CÁC KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG :
a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab (a, b tùy ý)
ab + bc + ca a + b + c)2 a2 + b2 + c2 (a, b ,c tùy ý)
(A , B dương)

CÁC VÍ DỤ
VD1: Cho a + b 1 . Chứng minh rằng: a) a3 + b3 b) a4 + b4
HD:a) a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b)[(a +b)2 -3aba + b) [(a + b)2 a + b)2 ]
= (a + ba + b)2 = a + b)3 1 =
b) a4 44.|a
b4 44.|b
Cộng vế theo vế: a4 + b4 + hay a4 + b4 + =
VD2: Cho u , v là các số dương thỏa u + v = 1. Tìm GTNN của P =
HD: P = u2 + v2 + 4 = ( u2 + v24
Ta có 1 = (u + v)2 2( u2 + v2) u2 + v2)
và 1 = (u + v)2 4uv4 16
P 1 +16) +4 = Dấu = khi u = v =

VD3: Cho x , y là các số không âm thỏa x2 + y2 = 1.
a) Chứng minh : 1 x + y
b) Tìm GTLN và NN của P =
HD:a) Từ (x + y)2 2( x2 + y2) = 2 x + y . Dấu = khi x = y =
Lại có (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 1 + 2xy 1 x + y 1 . Dấu = khi x = 0 hoặc y = 0
b) P2 = 2 + 2(x + y) + 2
Vì x + y và 4xy 2( x2 + y2) = 2
P2 2 + 2+ 22 + 2+ 2(1 + = 4(1 +
P 2. Pmax = 2khi x = y =
Lại có x + y 1 và 4xy 0
P2 2 + 2 + 2= 4 + 2= (1 2 P 1
Pmin = 1 khi x = 0 hoặc y = 0
VD4: Cho x , y, z là các số không âm . Chứng minh rằng
P =
HD: Cô si cho 2 số : x3 + y2 2xy.......
P
Dấu = xãy ra khi x3 = y2 ; y3 = z2 ; z3 = x2 và x = y = z hay x = y = z = 1

VD5: Cho a,b,c dương thỏa a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTNN của P =
HD: P2 = 2(a2 + b2 + c2 )
Aùp dụng BĐT Cô si cho 2 số ta có :
= c22c2 ; 2a2 ; 2b2
P2 3(a2 + b2 + c2 ) = 3 P Dấu = xãy ra khi a = b = c =
VD6: Cho x , y là các số dương thỏa x + y =1. Chứng minh 9
HD: xy 4
Vế trái = = = =
= 2.4 + 1 9
VD7: Cho x , y , z là các số dương thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng :
P = 3
HD: Côsi:
Suy ra P 3= 3.1 = 3.
Dấu =