một số dạng toán hsg lớp 12
I.Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình ,hệ phương trình và bất phương trình :
1.Phương trình và hệ phương trình:
- Cách giải: Đưa bài toán về dạng
( với m là tham số )
và dựa vào miền giá trị của hàm số để biện luận.
Chú ý: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
-Các ví dụ :
Câu 1. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

Hướng dẫn: Với điều kiện
Xét hàm số trên đoạn [-1;8].
Với -1 Bảng biến thiên


Suy ra với thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.
Câu 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên tập số thực
a)
b(HSG NA 2007-2008).
Hướng dẫn:
a)Đặt
Ta có (*).
Xét hàm số với
và
Suy ra
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
b)Đặt với PT
Câu 3.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Hướng dẫn: Với điều kiện
Hệ PTII)
+Với x=-1 hoặc y=-1 không có giá trị m nào thỏa mãn.
+Với x=y=3 thì có m=2 thỏa mãn.
+Với ta xét hàm số với
Ta có
Suy ra hàm số ồng biến trên khoảng (-1;3).
Suy ra
Hay III).
Xét hàm số với
Ta có
Suy ra
Suy ra phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
Hay hệ (III) có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy (I) có nghiệm khi và chỉ khi
Câu 4.Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Hướng dẫn: Đặt Ta có với
Suy ra
.
2.Bất phương trình và hệ bất phương trình:
- Cách giải: Đưa bài toán về dạng
hoặc ( với m là tham số )
và dựa vào miền giá trị của hàm số để biện luận.
Cụ thể:
a)Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
b)Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Chú ý:
i)Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
ii)Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
-Các ví dụ:
Câu 5.Tìm m để bất phương trình
có nghiệm
Hướng dẫn: Đặt với
Ta có
Xét hàm số với
và
Suy ra bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Câu 6.Tìm m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
Hướng dẫn: Ta có :

Đặt với ta có :
Xét hàm số , với

Bảng biến thiên


Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi
hay
Vậy với bất phương trình đã cho được nghiệm đúng với mọi .
Câu 7. Cho hệ Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn
Hướng dẫn: Với điều kiện Đặt với
Ta có II).
Xét trên đoạn [3;4].