Thư mục

Dành cho Quảng cáo

  • ViOLET trên Facebook
  • Học thế nào
  • Sách điện tử Classbook
  • Xa lộ tin tức

Hỗ trợ kỹ thuật

  • (Hotline:
    - (04) 66 745 632
    - 0982 124 899
    Email: hotro@violet.vn
    )

Thống kê

  • lượt truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Chào mừng quý vị đến với Thư viện Giáo án điện tử.

    Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
    Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.

    Bài tập: Giới hạn của dãy số và hàm số

    Nguồn:
    Người gửi: Nguyễn Xuân Thọ
    Ngày gửi: 14h:48' 23-04-2008
    Dung lượng: 1.6 MB
    Số lượt tải: 2447
    Số lượt thích: 0 người

    Giới hạn
    A. Kiến thức sách giáo khoa
    I. Giới hạn của dãy số
    1. Dãy số có giới hạn 0
    a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy sốcó giới hạn 0, kí hiệu(hay), nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
    b. Tính chất: 
    c. Định lí: Cho hai dãy số  (1)
    2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
    a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực L, kí hiệu , nếu 
    
    b. Các định lí:
    • Cho (un) mà un = c, (n : 
    • limun = L 
    • Nếu  thì: 
    •  (2)
    • Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
    Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. (3)
    c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
    • 
    • 
    3. Dãy số có giới hạn vô cực
    a. Dãy số có giới hạn 
    Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
    Kết quả: 
    b. Dãy số có giới hạn - ∞
    Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
    c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
    • Quy tắc nhân
    
    
    
    
    
    
    
    
     
    
    
    
     
    +
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    +
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    • Quy tắc chia
     có dấu
     có dấu
    
    
    +
    +
    
    
    +
    
    
    
    
    +
    
    
    
    
    
    
    II. Giới hạn của hàm số
    1. Giới hạn hữu hạn
    a. Giới hạn hữu hạn
    Cho  và f là hàm số xác định trên tập . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu , khi x dần đến (hoặc tại điểm ), nếu với mọi dãy số  trong tập  mà , ta đều có 
    b. Giới hạn vô cực
    nếu mọi dãy  trong tập  mà  thì 
    2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
    Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞, kí hiệu , nếu với mọi dãy số  trong khoảng  mà , ta đều có 
    3. Các định lí
    a. Định lí 1: Giả sử  và . Khi đó:
    • 
    •
    
    •
    • 
    
    b. Định lí 2: Giả sử . Khi đó:
    • ;
    • ;
    • Nếu  với mọi , trong đó J là một khoảng nào đó chứa  thì  và .
    c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa  và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó:
    
    4. Giới hạn một bên
    a. Định nghĩa:
    • Giả sử hàm f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu: , nếu với mọi dãy số  trong khoảng  mà , ta đều có .
    • Giả sử hàm f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0, kí hiệu: , nếu với mọi dãy số  trong khoảng  mà , ta đều có .
    • Các định nghĩa  được phát biểu tương tự như trên.
    b. Định lí:
    • 
    • 
    5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
    a. Quy tắc nhân
    
    b. Quy tắc chia
    
    
    có dấu
    
    
     có dấu
    
    g(x) có dấu
    
    
     
    +
    
    
    +
    +
    
    
    
    
    
    
    +
    
    
    
    
    +
    
    
    
    +
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    6. Các dạng vô định
    Khi tìm  khi  ta gặp các dạng vô địn, kí hiệu , lúc đó ta không dùng được các định lí về giới hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
    B. Các dạng toán cơ bản
    Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
    Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
    Ví dụ 1: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 2: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 3: Tìm: 
    Giải:
    .
    Dạng 2: Chứng minh 
    Phương pháp giải: Sử dụng định lí:
    Cho hai dãy số  (1);
     (2)
    Ví dụ: Chứng minh: 
    Giải:
    Ta có:  và  nên 
    Dạng 3: Chứng minh  tồn tại
    Phương pháp giải: Sử dụng định lí
    Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
    Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
    Ví dụ: Chứng minh dãy số  cho bởi  có giới hạn.
    Giải:
    Ta có  Do đó dãy  giảm. Ngoài ra,  nêu dãy  bị chặn dưới. Vậy dãy  có giới hạn.
    Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
    Phương pháp giải: Sử dụng công thức: 
    Ví dụ: Tính tổng 
    Giải:
    Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với  và . Vậy: 
    Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
    Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
    Ví dụ: Tìm: 
    Giải:
    Cách 1:
    Ta có: 
    Lại có  và  nên suy ra:
    
    Cách 2:
    Ta có: 
    Lại có 
    Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
    Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
    Ví dụ 1: Tính: .
    Giải:
    Xét dãy  mà  và . Ta có: 
    Vì  Do đó .
    Ví dụ 2: Tính: 
    Giải:
    Ta có: 
    Ví dụ 3: Tính: 
    Giải:
    Ta có: 
    (Chú ý: khi  là ta xét x < 0, nên )
    Dạng 7: Chứng minh  (Hoặc bằng L)
    Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
    Giả sử J là một khoảng chứa  và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Khi đó:
    
    Ví dụ: Chứng minh: 
    Giải:
    Ta luôn có: 
    .
    Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
    Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
    Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm 
    Giải:
    Ta có:  (1)
     (2)
    Từ (1) và (2) suy ra 
    Ví dụ 2: Cho hàm số 
    Tìm 
    Tìm 
    Giải:
    a. 
    b. 
    Ta có:  suy ra không tồn tại 
    (Chú ý:  tồn tại khi và chỉ khi  thì )
    Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
    Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
    Ví dụ: Tính 
    Giải:
    
    Vì  và 
    Dạng 10: Khử dạng vô định
    Phương pháp giải
    1. Khi tìm giới hạn dạng, với :
    • Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho 
    • Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp.
    Ví dụ 1: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 2: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 3: Tìm: 
    Giải:
    
    
    Ví dụ 4: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 5: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 6: Tìm: 
    Giải:
    Đặt . Do đó:
    
    Ví dụ 7: Tìm: 
    Giải:
    
    2. Khi tìm giới hạn dạng , ta lưu ý:
    • Đặt  (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
    • Sử dụng kết quả: ( với )
    Ví dụ 1: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 2: Tìm: 
    Giải:
    
    Ví dụ 3: Tìm: 
    Giải:
    
    C. Bài tập tự luận
    1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    2. Tìm các giới hạn hàm số sau:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    4. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
    
    
    
    
    
    
    
    
    5. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    D. Bài tập trắc nghiệm
    Dãy số có giới hạn 0
    1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
    a.  b.  c.  d. 
    2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
    a.  b.  c.  d. 
    3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
    a.  b.  c.  d. 
    4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
    a.  b.  c.  d. 
    5. Gọi . Khi đó L bằng
    a.  b.  c. – 1 d. 0
    6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
    a.  b.  c.  d. 
    Dãy số có giới giạn hữu hạn
    7. Cho . Khi đó un bằng
    a.  b.  c.  d. 
    8. Cho . Khi đó limun bằng
    a. 0 b. 1 c.  d. 
    9. Gọi  thì L bằng số nào sau đây?
    a. 0 b.  c. 3 d. 9
    10. Tổng của cấp số nhân vô hạn  là
    a. 1 b.  c.  d. 
    11. Tổng của cấp số nhân vô hạn  là
    a.  b.  c.  d. 4
    12. Tổng của cấp số nhân vô hạn  là
    a.  b.  c.  d. 
    13. Tổng của cấp số nhân vô hạn:  là
    a.  b.  c.  d. 2
    Dãy số có giới hạn vô cực
    14. Kết quả  là
    a.  b. – 4 c. – 6 d. 
    15. Biết  thì L bằng
    a.  b. 3 c. 5 d. 
    16.  bằng
    a.  b. – 6 c. – 3 d. 
    17.  bằng
    a.  b.  c. – 1 d. 0
    18.  bằng
    a.  b.  c. 0 d. 
    19.  bằng
    a. 0 b.  c.  d. 
    20.  bằng
    a. 0 b.  c.  d. 
    21.  bằng
    a.  b. 0 c.  d. 
    22.  bằng
    a.  b.  c. 0 d. 
    23. Dãy số nào sau đây có giới hạn là?
    a.  b.  c.  d. 
    24. Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞?
    a.  b.  c.  d. 
    25.  bằng
    a. 0 b. 1 c. 2 d. 
    26. Kết quả  là
    a. +∞ b. 10 c. 10 d. 0
    27. Kết quả  là
    a. 0 b. 1 c.  d. 
    28. Nếu  thì  bằng
    a. L + 9 b. L + 3 c.  d. 
    29. Nếu  thì  bằng bao nhiêu?
    a.  b.  c.  d. 
    30.  bằng
    a.  b.  c. 1 d. 
    31.  bằng bao nhiêu?
    a.  b. 10000 c. 5000 d. 1
    32.  bằng bao nhiêu?
    a. 0 b.  c.  d. 
    33.  bằng
    a.  b.  c.  d. 0
    34.  bằng bao nhiêu?
    a. +∞ b. 4 c. 2 d. – 1
    35.  bằng số nào sau đây?
    a.  b.  c. 0 d. 1
    36. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
    a.  b.  c.  d. 
    37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?
    a.  b.  c.  d. 
    38. Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞?
    a.  b.  c.  d. 
    39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?
    a.  b.  c.  d. 
    40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
    a.  b.  c.  d. 
    41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?
    a.  b.  c.  d. 
    42. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
    a.  b.  c.  d. 
    43. Nếu  thì L bằng
    a.  b.  c.  d. 0
    44. Gọi . Khi đó L bằng
    a.  b. 6 c. 3 d. 2
    45.  bằng
    a. 1 b.  c. 2 d. 
    46.  bằng
    a.  b.  c. 9 d. 3
    47.  có kết quả là
    a. 1 b. 2 c. 4 d. 
    50. Dãy số nào sau đây có giới hạn ?
    a.  b.  c.  d. 
    Giới hạn của hàm số
    51.  bằng
    a. 5 b. 7 c. 9 d. 
    52.  bằng
    a.  b. 5 c. 9 d. 10
    53.  bằng
    a.  b. 1 c. 2 d. 
    54.  bằng
    a. 5 b. 1 c.  d. 
    55.  bằng
    a.  b.  c.  d. 
    56.  bằng
    a.  b.  c.  d. 
    57.  bằng
    a.  b.  c.  d. 
    58.  bằng
    a.  b.  c.  d. 
    59.  bằng
    a.  b.  c.  d. 
    60.  bằng
    a. 5 b. 3 c. 1 d. 
    61.  bằng
    a. 0 b. 1 c.  d. 
    62.  bằng
    a.  b.  c. 1 d. 2
    63.  bằng
    a. 0 b. 
    No_avatar
    cam on thay
     
     
     
    Gửi ý kiến
    print