Dành cho Quảng cáo

Chào mừng quý vị đến với Thư viện Giáo án điện tử.

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.

Sáng kiến kinh nghiệm: Áp dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán

Nguồn: tự soạn
Người gửi: Bùi Thúy Nga (trang riêng)
Ngày gửi: 21h:57' 03-04-2008
Dung lượng: 666.0 KB
Số lượt tải: 1316
Số lượt thích: 0 người
I ) Lý do chọn đề tài
Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu .
Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm ... của phương trình . Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số . Trong trường hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trường chuyên lớp chọn ...Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét


II ) Nội dung đề tài
A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a  0 ) có 2 nghiệm phân biệt  thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S =  và P = 
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a  0 ) có các nghiệm số là 
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a  0 ) có các nghiệm số là 
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai : 

B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình
Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) 
b) 
c) 
Giải
Theo hệ thức Vi – ét có S = 
P = 
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x và x cùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương
Theo hệ thức Vi – ét có P =  nên 2 nghiệm cùng dấu
S =  nên 2 nghiệm cùng dấu âm
c) P =  nên 2 nghiệm trái dấu
S = 

Bài tập 2 : Cho phương trình  (1)
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m  0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m< 0 với mọi m  0
Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P =  < 0 . Do đó và  trái dấu
S =  nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000) (3đ)
Cho phương trình  (1) (với m là tham số)
a) Giải phương trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu  m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x Tìm m để biểu thức
 đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a) Thay m = 2 vào phương trình ta được 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b)Xét 
Có 
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu 
Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x
Từ kết quả phần b có x, x  0 , biểu thức A được xác định với mọi x, x tính theo m và 
Đặt  Với a > 0 
Có A = -a + mang giá trị âm
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
Có – A = a + 
Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và  ( vì a > 0 và )
Có 
Vậy – A  2 nên – A có giá trị nhỏ nhất là 2 <=> A  2 nên A có GTLN là - 2

( thoả mãn điều kiện a > 0 )
Với a = 1 thì 
Theo kết quả  có 

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2

2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phương trình : 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để  đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0

a, c trái dấu nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m
Theo hệ thức Vi ét P =  do đó 2 nghiệm trái dấu
b) Ta có


= 


Vậy Min  khi m =


Bài tập 5:
Cho phương trình 
Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu 
Với điều kiện này giả sử x< 0 ,x > 0 theo đề ra ta có

Vì m > 0 nên ta chọn m =  ( thoả mãn điều kiện )
Kết luận : Vậy với m =  thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia .

Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)
Xét phương trình :  (1) với m là tham số
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
Gọi các nghiệm của phương trình (1) là  . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M = 

Giải :
1) Đặt x = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành
 (2)



Có  nên  Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi – ét có


Xét  có 
nên P > 0 với mọi m  Z
cùng dấu
Xét  .
Vì 
nên S > 0  cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y  0)
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có 
và 



Thay kết quả S và P vào M ta được

Kết luận: 

Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ)
Cho phương trình  ( mlà tham số)
Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
Trong trường hợp m > 0 và  là các nghiệm của phương trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức 
Giải:
a) 



Vì  nên 
 Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b) 
Theo kết quả phần a phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
áp dụng hệ thức Vi – ét ta có
S = 
P = 
Vì P = m > 0 nên  biểu thức A được xác định với mọi giá trị  tính theo m

= 
Thay S và P vào biểu thức A ta được :


Theo bất dẳng thức Cô Si vì  ( do m > 0và )

Vậy biểu thức A có GTNN là 8
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra  m = 

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0
m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ)
Xét phuương trình mx+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thoả mãn 
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ
Giải
a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm 
Xét 

Vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là m  và m 
Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có


Gọi 

áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK  )


Có a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m = 1 ( thoả mãn điều kiện m  và m )
m = ( không thoả mãn điều kiện m  và m )
Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm  thoả mãn 
Gọi n  ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m  0 )
Theo kết quả phần a ta có

 vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m
 ( do n > 0 )


Vì n  nên 1- n và n  =>  là phân số 
tử n +2  và n +1  =>  là phân số 
Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ

3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết
x + y = 11 và xy = 28
x – y = 5 và xy = 66
Giải :
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình x - 11x + 28 = 0
= 121 – 112 = 9 > 0
 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
= 4
Vậy x = 7 thì y = 4
x = 4 thì y = 7
b) Ta có 
có x , y là nghiệm của phương trình x - 5x - 66 = 0
 = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 
Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11

Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x + y = 25 và xy = 12
Giải :
Ta có x + y = 25 <=> (x + y ) - 2xy = 25 <=> (x + y )- 2.12 = 25
(x + y ) = 49 <=> x +y =  7
* Trường hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0
 = 49 – 4.12 = 1

* Trường hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x +7x +12 = 0
Giải phương trình ta được x = -3 ; x= - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc
tham
No_avatar

Hay , cái này ôn thi cho học sinh cuối cấp đỡ quá , bạn bỏ công sưu tầm đề thi từ tỉnh mình đến khắp các tỉnh khác, lại còn kèm lời giải chi tiết . Cảm ơn bạn nhé . Có 1 số lỗi đánh máy nhỏ bạn xem sửa lại nghe .còn cái nào giúp đõ cho bà con  tí !!!!!!!Hì .... tham lam quá không

No_avatar
Mời các thầy cô tham khảo chuyên đề của trường tôi. chuyên đề về hệ thức ViEt do tôi (Ngô Quốc Hưng ) đưa lên
18312
KG ban quản lý BK : Cảm ơn anh Đình Hải Minh và các công sự . Tôi đã nhận được bản quyền phần mềm Violét của công ty Bạch Kim gửi tặng như lời hứa với những thành viên được trên 2000 điểm . Mong các anh tiếp tục có chính sách "ưu đãi" các thành viên của mình với các phần thưởng khác . Chúc các đồng nghiệp khác mau nhận được phần thưởng . Nga
15560

Trời ơi sao tôi chưa nhận được nhỉ? BQT ơi tôi thất vọng quá, có ai cho tôi mượn cái dây thừng với, à không cần, dây gì cũng được!!!

No_avatar

mình buồn cười quá. bạn Nguyễn Tuấn Cường vui tính thật. Bạn mượn dây thừng để làm gì? Trói ai à. hì hì...

 

15560
Bạn cứ đùa, tôi yếu bóng vía không dám nhảy lầu nên đành tìm dây gì đó xài đỡ....
No_avatar
Tôi thì lại nghĩ bạn trói người khác .
15560
To Quốc Hưng: Chứ bạn nghĩ tôi trói được ai?
No_avatar

MÌnh là Ngô Quốc Hưng chứ không phải To Quốc Hưng. Trói người không cho bạn phần mềm ý

49142
"Cái gì cũng từ từ". Bác xứng đáng nhận được quà từ bachkim nhưng hiện nay nhiều thành viên tích cực lắm cả về số lượng lẫn chất lượng BQT không lường trước đựoc.Chắc phải trên 10.000 điêm!!!
 
Gửi ý kiến

↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT  ↓

print