Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán
hình học phẳng

Trần Mạnh Sang

Mục tiêu
Sau bài này, học sinh cần nắm được a. Kiến thức: Biết định lý Con nhím và cách chứng minh định lý.
b. Kĩ năng: Biết vận dụng định lý trong việc giải một số bài toán hình học phẳng, đặc biệt là chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, một số bài tập cho học sinh.
Học sinh: Ôn lại định nghĩa và tính chất của vecto, các phép toán: Cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc tìm tổng hai vecto.
Dự kiến phương pháp giảng dạy
Vấn đáp, gợi mở, trực quan, thuyết trình.

Tiến trình dạy học.
Thực hiện bài học trong 4 tiết.
Tiết 1.
Có nhiều bài toán hình học phẳng mà nếu giải theo phương pháp hình học thuần thúy thì sẽ rất khó khăn. Tuy nhiên, khi sử dụng công cụ vecto thì việc giải quyết bài toán trở lên đơn giản. Một trong các định lý về vecto có ứng dụng lớn là định lý Con nhím.
Chúng ta cùng nghiên cứu định lý Con nhím và các ứng dụng của nó.

Trước hết chúng ta cùng nhắc lại một số kiến thức về vecto:
Định nghĩa , phép cộng , trừ hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc hình bình hành, quy tắc 3 điểm.
Ta đến với hai kết quả quan trọng sau:
1.Cho
và điểm M thuộc cạnh BC.
Khi đó ta có:


Chứng minh
Kẻ MN song song với AB
Theo định lý Talet, ta có:

suy ra

Ta có:


2.Cho
với
. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Khi đó:

.
Chứng minh
Kẻ phân giác AA’, BB’, CC’ lần lượt của góc A, B, C.
Việc tính tổng của nhiều vecto, chúng ta thường có bước tổng hợp từng cặp vecto. Ta dựng hình bình hành ANIM sao cho C’ thuộc IN và B’ thuộc IM.
Khi đó


Áp dụng định lý Talet ta có


Hay


Suy ra



.

Chúng ta đến với bài toán sau:
Bài toán: Đường tròn tâm I nội tiếp
, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
.
Chứng minh
Ta có biến đổi:











.
Ta có điều phải chứng minh.

Chúng ta cùng đến với kết quả chính của phần này
Định lý Con nhím:
Cho đa giác lồi
và
là vecto đơn vị vuông góc với
( xem
) và hướng ra ngoài đa giác. Khi đó ta có đẳng thức:

.
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp.
Với n=3, ta xét định lý trong tam giác ABC. Định lý đúng do bài toán trên.
Giả sử định lý đúng với n=k, ta xét với n=k+1.
Gọi
là vecto đơn vị vuông góc với
và hướng ra ngoài tam giác
.
Trong tam giác
, ta có:


Theo giả thiết quy nạp, trong đa giác
ta có


Suy ra


Vậy định lý được chứng minh.


Chúng ta đến với một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Với J là một điểm bất kỳ trong
. Hạ JM, JN, JP vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

.
Bài tập 1 là một bài tập đơn giản, nhận mạnh với chúng ta rằng, vecto xét ở đây là vecto đơn vị.

Từ hệ thức trên ta thấy, nếu các vecto
có cùng độ lớn thì ta có hệ thức:

.


Bài 2: Cho
, I là tâm đường tròn bàng tiếp
của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
a.

b.

Chứng minh.
Bài tập 2 nhấn mạnh cho chúng ta một điều: Vecto đơn vị có hướng ra ngoài đa giác.
Xét
, có


Và có
hướng vào trong tam giác, ta phải chọn
. Áp dụng định lý con nhím cho
, ta có:


b.

Ta có:




Ta có:


Tương tự ta có:


Vậy






.
Chúng ta kết thúc bài toán